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          共50条信息

            • 1． 已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2-4x．
              （1）设g（x）=（a-2）x，若∀x∈[
              1
              e
              ，e]              ，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
              （2）定义：若函数m（x）的图象上存在两点A、B，设线段AB的中点为P（x0，y0），若m（x）在点Q（x0，m（x0））处的切线l与直线AB平行或重合，则函数m（x）是“中值平衡函数”，切线l叫做函数m（x）的“中值平衡切线”．试判断函数f（x）是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数f（x）的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 已知f（x）=x2-alnx，a∈R．
              （1）讨论函数f（x）的单调性；
              （2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
              （3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞-
              5
              2
              ．
              难度：中等
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            • 3． 已知函数f（x）=
              1-x
              ex
              ．
              （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
              （2）求函数f（x）的零点和极值；
              （3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）-f（x2）≥-
              1
              e2
              成立，求实数a的最小值．
              难度：中等
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            • 4． 已知函数f（x）=2ex-（x-a）2+3，g（x）=f′（x）．
              （Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
              （Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
              （Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
              （1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
              （2）令g（x）=f（x）-x2，若x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，求a的值．
              难度：中等
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            • 6． 已知函数f（x）=1+ax-alnx，a≠0．
              （1）求f（x）的单调区间；
              （2）若函数f（x）的图象过点（1，0），是否存在实数b，使得对任意的实数c∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+b]在区间（c，3）上不单调（f′（x）是f（x）的导函数）？若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由；
              （3）设ai=
              lni
              i
              （i∈N*），求证：a2•a3…an＜
              1
              n
              （n≥2且n∈N*）．
              难度：中等
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            • 7． 已知函数f（x）=ln（a+x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1．
              （1）求实数a的值；
              （2）证明：f（x）≤x；
              （3）证明：f（
              1
              12
              ）+f（
              1
              22
              ）+f（
              1
              32
              ）+…+f（
              1
              n2
              ）＜2．
              难度：中等
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            • 8． 已知f（x）=x3-
              1
              2
              x2-2x+a，对任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a2，求a的取值范围．
              难度：中等
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            • 9． 已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．
              （1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；
              （2）设函数g（x）=f（x）+mx2+（m2+2）x，试求g（x）的单调区间．
              难度：中等
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            • 10． 已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）．
              （1）若函数f（x）有极小值-
              1
              e
              ，求f（x）的单调函数；
              （2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（x-1）；
              （3）当x∈（1，e）是，不等式
              x-1
              a
              ＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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