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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1-x}{ax}+\ln x(x > 0)\)．
              \((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\([ \dfrac {1}{2},2]\)上的最小值；
              \((2)\)若函数\(f(x)\)在\([ \dfrac {1}{2},+∞)\)上为增函数，求正实数\(a\)的取值范围；
              \((3)\)若关于\(x\)的方程\(1-x+2x\ln x-2mx=0\)在区间\([ \dfrac {1}{e},e]\)内恰有两个相异的实根，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：难
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a∈R)\)．
              \((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；
              \((2)\)当\(x∈(1,e)\)时，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 3．
              如果函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}-x\)满足：对于任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant a^{2}\)恒成立，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\([- \dfrac { \sqrt {6}}{3}, \dfrac { \sqrt {6}}{3}]\)
              B．\([- \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}, \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}]\)
              C．\((-∞,- \dfrac { \sqrt {6}}{3}]∪[ \dfrac { \sqrt {6}}{3},+∞)\)
              D．\((-∞,- \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}]∪[ \dfrac {2 \sqrt {3}}{3},+∞)\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知函数\(g(x)= \dfrac {x}{\ln x}\)，\(f(x)=g(x)-ax\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(g(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(∀x_{1}∈[e,e^{2}]\)，\(∃x_{2}∈[e,e^{2}]\)，使\(g(x_{1})\leqslant f′(x_{2})+2a\)成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              已知\(F(x)= \int _{ 0 }^{ x }(t^{2}+2t-8)dt\)，\((x > 0)\)．
              \((1)\)求\(F(x)\)的单调区间；
              \((2)\)求函数\(F(x)\)在\([1,3]\)上的最值．
              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {a+1}{2}x^{2}+1\)．
              \((1)\)当\(a=- \dfrac {1}{2}\)时，求\(f(x)\)在区间\([ \dfrac {1}{e},e]\)上的最大值与最小值；
              \((2)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
              \((3)\)当\(-1 < a < 0\)时，任意\(x > 0\)有\(f(x) > 1+ \dfrac {a}{2}\ln (-a)\)恒成立，求\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=ax^{3}+bx+c\)在点\(x=2\)处取得极值\(c-16\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)，\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)有极大值\(28\)，求\(f(x)\)在\([-3,3]\)上的最小值．
              难度：中等
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            • 8．
              某厂生产产品\(x\)件的总成本\(c(x)=1200+ \dfrac {2}{75}x^{3}(\)万元\()\)，已知产品单价\(P(\)万元\()\)与产品件数\(x\)满足：\(P^{2}= \dfrac {k}{x}\)，生产\(100\)件这样的产品单价为\(50\)万元，产量定为多少件时总利润最大？
              难度：较易
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {1}{4}x+ \dfrac {3}{4x}-1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(g(x)=-x^{2}+2bx-4\)，若对任意\(x_{1}∈(0,2)\)，\(x_{2}∈[1,2]\)，不等式\(f(x_{1})\geqslant g(x_{2})\) 恒成立，求实数\(b\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 10．
              为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层\(.\)某幢建筑物要建造可使用\(20\)年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为\(6\)万元\(.\)该建筑物每年的能源消耗费用\(C(\)单位：万元\()\)与隔热层厚度\(x(\)单位：\(cm)\)满足关系：\(C(x)= \dfrac {k}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant 10)\)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为\(8\)万元\(.\)设\(f(x)\)为隔热层建造费用与\(20\)年的能源消耗费用之和．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(k\)的值及\(f(x)\)的表达式．
              \((\)Ⅱ\()\)隔热层修建多厚时，总费用\(f(x)\)达到最小，并求最小值．
              难度：较难
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