知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知函数$f(x)=\sin x$，$g(x)=e^{x}⋅f′(x)$，其中$e$为自然对数的底数．
$(I)$求曲线$y=g(x)$在点$(0,g(0))$处的切线方程；
$($Ⅱ$)$若对任意$x∈[- \dfrac {π}{2},0]$，不等式$g(x)\geqslant x⋅f(x)+m$恒成立，求实数$m$的取值范围；
$($Ⅲ$)$试探究当$x∈[- \dfrac {π}{2}, \dfrac {π}{2}]$时，方程$g(x)=x⋅f(x)$的解的个数，并说明理由．

难度：中等

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3．
已知函数$f(x)=xe^{x}-(x+1)^{2}$
$($Ⅰ$)$当$x∈[-1,2]$时，求$f(x)$的最大值与最小值；
$($Ⅱ$)$如果函数$g(x)=f(x)-ax+1$有三个不同零点，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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4．
已知$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x^{3}+ax^{2}-x+2$．
$(1)$若函数$g(x)$的单调递减区间为$(- \dfrac {1}{3},1)$，求函数$y=g(x)$的图象在点$P(-1,1)$处的切线方程；
$(2)$若不等式$2f(x)\leqslant g{{'}}(x)+2$恒成立，求实数$a$的取值范围．

难度：较易

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5．
已知函数$f(x)=(ax-2)e^{x}$在$x=1$处取得极值．
$($Ⅰ$)$求$a$的值；
$($Ⅱ$)$求函数$f(x)$在$[m,m+1]$上的最小值；
$($Ⅲ$)$求证：对任意$x_{1}$，$x_{2}∈[0,2]$，都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant e$．

难度：较难

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6．
已知函数$f(x)= \dfrac {mx}{\ln x}$，曲线$y=f(x)$在点$(e^{2},f(e^{2}))$处的切线与直线$2x+y=0$垂直$($其中$e$为自然对数的底数$)$．
$(1)$求$f(x)$的解析式及单调递减区间；
$(2)$是否存在常数$k$，使得对于定义域内的任意$x$，$f(x) > \dfrac {k}{\ln x}+2 \sqrt {x}$恒成立，若存在，求出$k$的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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7．
已知函数$f(x)=a\ln x+x^{2}(a$为实常数$)$．
$(1)$当$a=-4$时，求函数$f(x)$在$[1,e]$上的最大值及相应的$x$值；
$(2)$当$x∈[1,e]$时，讨论方程$f(x)=0$根的个数．
$(3)$若$a > 0$，且对任意的$x_{1}$，$x_{2}∈[1,e]$，都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant | \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|$，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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8．

已知函数 $f(x)= \dfrac {a}{x}+x\ln x,g(x)=x^{3}-x^{2}-5$，若对任意的 $x_{1},x_{2}∈[ \dfrac {1}{2},2]$，都有$f(x_{1})-g(x_{2})\geqslant 2$成立，则$a$的取值范围是$($　　$)$

A．$(0,+∞)$

B．$[1,+∞)$

C．$(-∞,0)$

D．$(-∞,-1]$

难度：中等

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9．
已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$在$x=- \dfrac {2}{3}$与$x=1$时都取得极值．
$(1)$求$a$、$b$的值与函数$f(x)$的单调区间；
$(2)$若对$x∈[-1,2]$，不等式$f(x) < c^{2}$恒成立，求$c$的取值范围．

难度：较难

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10．（2016•北京）函数f（x）= $\text{[math]}$ （x≥2）的最大值为．

难度：中等

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