知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求：
（Ⅰ）实数m，n的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

难度：中等

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2．若函数f（x）=x³-
1
2
x²+bx+c在x=1时取得极值，且当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立．
（1）求实数b的值；
（2）求实数c的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f(x)=
x-1
x
-lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点(
1
2
，f(
1
2
))处的切线方程；
（2）求f（x）在[
1
4
，e]上的最大值和最小值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
x
a
-e^x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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5．设f（x）=x³-
1
2
x²-2x+5，若至少存在一个x₀∈[-1，2]时，f（x₀）＜m成立，则实数m的取值范围是．

难度：中等

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6．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax³-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）的极小值为1，求a的值．
（2）若对任意x∈（0，1]，都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=
sinx
3 cosx
-x（0＜x＜
π
2
）．
（Ⅰ）求f′(
π
4
)；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在x∈(0，
π
2
)上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=
1
sin2x
-
1
x2
在x∈(0，
π
4
]的最大值．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

难度：中等

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