知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=ax-sinx，x∈[0，π]．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若a=0，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）满足f（1）=2且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当
1
e
＜x＜y＜1时，试比较
y
x
与
1+lny
1+lnx
的大小．

难度：较难

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3．己知函数f（x）=
1
3
x3-ax2-3ax+b，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为-3，
（1）试确定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．

难度：较难

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4．设f（x）=（x+1）e^ax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=
1
a
处有水平切线．
（1）求a的值；
（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x₁，x₂∈（0，1）有|g（x₁）-g（x₂）|＜e^-1+2e^-2．

难度：较难

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5．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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9．设函数f（x）=lnx，g（x）=x-
1
x
．
（1）求函数φ（x）=
5
4
f（x）-
1
2
g（x）的极值；
（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

难度：中等

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10．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（　　）

A．a

C．-a

D．2016

难度：中等

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