知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．己知函数f(x)=
1
2
(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[
1
e
-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围；
（3）若设函数g(x)=
1
2
x2+
1
2
x+a，若g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点，求a的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-
1
2
x2 (a＞0)
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f(x)≥-
1
2
x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．

难度：中等

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3．已知f（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=
π
4
处的切线斜率为
2
π
8
．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[-π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+
1-x
1+x
，x≥0，其中m＞0，若对任意的x₁∈[0，+∞）总存在x₂∈[0，
π
2
]，使得g（x₁）≥f（x₂）成立，求m的取值范围．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

难度：较难

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6．已知x_n是函数f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：
1
2
＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）证明：
x2+…+xn
n
＜
1
2
．

难度：较难

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7．如图，在半径为10
3
cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V（cm³）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

难度：中等

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8．已知函数φ（x）=
a
x+1
，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
9
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有
g(x2)-g(x1)
x 2-x 1
＜-1，求a的取值范围．

难度：较难

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9．设动圆：（x-cosθ）²+（y+cosθ-sinθ）²=（2cos³θ-cosθ-sinθ+4）²（θ∈R）的圆心轨迹为曲线C，这些动圆所覆盖的区域记为区域D．
（Ⅰ）求曲线C的最高点坐标；
（Ⅱ）求区域D的最高点坐标．

难度：中等

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10．已知z＞0，x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则
xy
z
的最大值为．

难度：较易

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