知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f（x）=
a
x
+lnx-3有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂）
（Ⅰ）求证：0＜a＜e²
（Ⅱ）求证：x₁+x₂＞2a．

难度：中等

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3．设函数f(x)=ln(x+1)+
1
2
ax2-x，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥ax-x成立，求a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=mx³+nx（x∈R）．若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，3]的最值．

难度：中等

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5．已知函数f （x）=ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f （x）的最小值；
（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[
1
e
，e]，使得f （x）=1成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f （x）≥f （
1
x
）成立，求a的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x³+|x-a|（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[-1，1]上的最小值（用a表示）．

难度：中等

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7．已知函数f(x)=ex-e-x+ln(x+
x2+1
)（其中e≈2.718），若对任意的x∈[-1，2]，f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=-
n
3
x³-
1
2
x²+2mx．
（1）若m=3，n=1，求f（x）的极值；
（2）若n=-1，-2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值为
16
3
，求f（x）在该区间上的最小值．

难度：中等

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9．已知函数F（x）=xlnx．
（1）求这个函数的图象在点x=e处的切线方程．
（2）若方程F（x）-t=0在x∈[e^-2，1]上有两个不相等的实数根，求t的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
x
ex
-axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+
1
e
（b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）＜
2
e
．
（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：
1
em-1
+
1
en-1
＜2（m+n）．

难度：中等

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