知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{6}x^{3}+ \dfrac {1}{2}x-x\ln x\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x) < a\)对\(x∈( \dfrac {1}{e},e)\)恒成立，\(a\)的最小值．

难度：难

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2．
已知函数\(f(x)=x^{2}-ax-a^{2}\ln x(a∈R)\)
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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3．
已知\(f(x)=e^{x}-t(x+1)\)，\(e\)为自然对数的底数．
\((\)Ⅰ\()\)若\(f(x)\geqslant 0\)对一切正实数\(x\)恒成立，求\(t\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)设\(g(x)=f(x)+ \dfrac {t}{e^{x}}\)，且\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})(x_{1}\neq x_{2})\)是曲线\(y=g(x)\)上任意两点，若对任意的\(t\leqslant -1\)，直线\(AB\)的斜率恒大于常数\(m\)，求\(m\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)求证：\(\ln (1+n) < 1+ \dfrac {1}{2}+…+ \dfrac {1}{n}\leqslant 1+\ln n\)．

难度：中等

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4．
已知函数\(f(x)=x\ln x+mx^{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(m=1\)时，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)若\(∀x∈(0,+∞)\)，都有\(f(x) < 0\)成立，求\(m\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)当\(m < 0\)时，设\(g(x)= \dfrac {f(x)}{x}\)，求\(g(x)\)在区间\([1,2]\)上的最大值．

难度：较易

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5．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)图象在\(x= \dfrac {1}{e}\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)求函数\(y=f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅲ\()\)设\(a > 0\)，求\(F(x)=af(x)\)在\(x∈[a,2a]\)上的最小值及最大值．

难度：较难

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6．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln (x-a)}{x}\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(a=1\)，确定函数\(f(x)\)的零点；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a=-1\)，证明：函数\(f(x)\)是\((0,+∞)\)上的减函数；
\((\)Ⅲ\()\)若曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线与直线\(x-y=0\)平行，求\(a\)的值．

难度：中等

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7．
已知\(f(x)=x\ln x\)，\(g(x)=-x^{2}+ax-3\)．
\((\)Ⅰ\()\)对一切\(x∈(0,+∞)\)，\(2f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)证明：对一切\(x∈(0,+∞)\)，都有\(\ln x > \dfrac {1}{e^{x}}- \dfrac {2}{ex}\)成立．

难度：较易

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8．
已知函数\(f(x)=xe^{x}+mx^{2}-nx\)．
\((1)\)当\(m=- \dfrac {1}{2},n=2\)时，求函数\(g(x)=f(x)+e^{x}\)的单调区间；
\((2)\)若函数\(f(x)\)的导函数为\(f{{'}}(x)\)，且\(f{{'}}(x)\leqslant (x+2)e^{x}\)在\(R\)上恒成立，求证：\(m- \dfrac {n}{2}\leqslant \dfrac {e}{2}\)．

难度：较易

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9．
已知\(a∈R\)，函数\(f(x)=-x^{3}+ \dfrac {1}{2}ax^{2}\)，\(g(x)=a\ln x\)．
\((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)的导函数分别为\(f{{'}}(x)\)和\(g{{'}}(x)\)
\(①\)当\(a=3\)时，对于\(∀x > 1\)，恒有\(f{{'}}(x)\leqslant kg(x)\)成立，求实数\(k\)的取值范围
\(②\)当\(a > 0\)时，若\(∃x_{0} > 0\)，使得\( \sqrt {f′(x_{0})}\geqslant g′(x_{0})\)，求实数\(a\)的最小值．

难度：中等

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10．
已知\(a > 0\)，函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+ \dfrac {1-a}{2}x^{2}-ax-a\)．
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(a=1\)时，设函数\(g(t)\)表示\(f(x)\)在区间\([t,t+3]\)上最大值与最小值的差，求\(g(t)\)在区间\([-3,-1]\)上的最小值．

难度：较易

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