知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%5E%7B2%7D%7D$ ，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（　　）

A． $%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7B2%7D%2B2%7D%7Be%7D%29$

B． $%28%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Be%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

C． $%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

D． $%28%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7B2%7D%2B2%7D%7Be%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

难度：较易

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3．已知函数f（x）=lnx- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ ，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-m%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值；
（3）若m=-1，且正实数x₁，x₂满足F（x₁）=-F（x₂），求x₁+x₂的取值范围．

难度：中等

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4．关于x的方程x³-3x²-a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

A．（-4，0）

B．（-∞，0）

C．（1，+∞）

D．（0，1）

难度：难

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5．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7B%20%5Cfrac%20%7B100%7D%7Bv%7D%2B23%2C0%3Cv%5Cleq%2050%7D%7B%20%5Cfrac%20%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B500%7D%2B20%2Cv%3E50%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

难度：较易

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6．函数f（x）=x³﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围为．

难度：中等

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7．函数f（x）=xe^﹣^x ， x∈[0，4]的最小值是．

难度：中等

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8．函数f（x）=x³﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x₁ ， x₂ ，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是．

难度：中等

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9．已知f（x）=e^x，g（x）为其反函数．
（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；
（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；
（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

难度：中等

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10．烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

难度：中等

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