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          共50条信息

            • 1．
              如图所示，直立在地面上的两根钢管\(AB\)和\(CD\)，\(AB=10 \sqrt {3}m\)，\(CD=3 \sqrt {3}m\)，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
              \((1)\)如图\((1)\)设两根钢管相距\(1m\)，在\(AB\)上取一点\(E\)，以\(C\)为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的\(F\)处，形成一个直线型的加固\((\)图中虚线所示\().\)则\(BE\)多长时钢丝绳最短？
              \((2)\)如图\((2)\)设两根钢管相距\(3 \sqrt {3}m\)，在\(AB\)上取一点\(E\)，以\(C\)为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的\(F\) 处，再将钢丝绳依次固定在\(D\)处、\(B\)处和\(E\)处，形成一个三角形型的加固\((\)图中虚线所示\().\)则\(BE\) 多长时钢丝绳最短？
              难度：较易
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            • 2．
              设函数\(f(x)=e^{2x}-a\ln x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(f(x)\)的导函数\(f′(x)\)零点的个数；
              \((\)Ⅱ\()\)证明：当\(a > 0\)时，\(f(x)\geqslant 2a+a\ln \dfrac {2}{a}\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=x^{2}e^{x}\)，当\(x∈[-1,1]\)时，不等式\(f(x) < m\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围为\((\)　　\()\)
              A．\([ \dfrac {1}{e},+∞)\)
              B．\(( \dfrac {1}{e},+∞)\)
              C．\([e,+∞)\)
              D．\((e,+∞)\)
              难度：较易
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            • 4．
              某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距\(m\)米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩\(.\)经预测一个桥墩的工程费用为\(256\)万元，距离为\(x\)米的相邻两墩之间的桥面工程费用为\((2+ \sqrt {x})x\)万元\(.\)假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为\(y\)万元．
              \((\)Ⅰ\()\)试写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(m=640\)米时，需新建多少个桥墩才能使\(y\)最小？
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {1}{2}ax^{2}+x\)．
              \((1)\)若\(f(1)=0\)，求函数\(f(x)\)的单调减区间；
              \((2)\)若关于\(x\)的不等式\(f(x)\leqslant ax-1\)恒成立，求整数\(a\)的最小值；
              \((3)\)若\(a=-2\)，正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足\(f(x_{1})+f(x_{2})+x_{1}x_{2}=0\)，证明：\(x_{1}+x_{2}\geqslant \dfrac { \sqrt {5}-1}{2}\)．
              难度：难
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            • 6．
              当\(x∈[-1,2]\)时，\(x^{3}-x^{2}-x < m\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是 ______ ．
              难度：较易
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            • 7．
              设函数\(f(x)=x^{3}-3ax+b(a\neq 0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若曲线\(y=f(x)\)在点\((2,f(2))\)处与直线\(y=8\)相切，求\(a\)，\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间与极值点．
              难度：难
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            • 8．
              \((\)文科\()\)设函数\(f(x)=- \dfrac {1}{3}x^{3}+2ax^{2}-3a^{2}x+b(0 < a < 1)\)．
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间，并求函数\(f(x)\)的极大值和极小值；
              \((2)\)若当\(x∈[a+1,a+2]\)时，不等式\(|f{{'}}(x)|\leqslant a\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=x\ln x-x+1\)，\(g(x)=x^{2}-2\ln x-1\)，
              \((\)Ⅰ\()h(x)=4f(x)-g(x)\)，试求 \(h(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(x\geqslant 1\)时，恒有\(af(x)\leqslant g(x)\)，求\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 10．
              已知函数\(f(x)=\log _{a} \dfrac {x-2}{x+2}\)的定义域为\([α,β]\)，值域为\([\log _{a}a(β-1),\log _{a}a(α-1)]\)，并且\(f(x)\)在\([α,β]\)上为减函数．
              \((1)\)求\(a\)的取值范围；
              \((2)\)求证：\(2 < α < 4 < β\)；
              \((3)\)若函数\(g(x)=\log _{a}a(x-1)-\log _{a} \dfrac {x-2}{x+2}\)，\(x∈[α,β]\)的最大值为\(M\)，求证：\(0 < M < 1\)．
              难度：中等
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