如图所示，已知曲线\(C_{1}\)：\(y=x^{2}\)与曲线\(C_{2}\)：\(y=-x^{2}+2ax(a > 1)\)交于点\(O\)、\(A\)，直线\(x=t(0 < t\leqslant \) \(1)\)、\(C_{2}\)分别相交于点\(D\)、\(B\)，连接\(OD\)、\(DA\)、\(AB\)．

\((\)Ⅰ\()\)求曲边四边形\(ABOD(\)阴影部分\()\)的面积\(S\)与\(t\)的函数关系式\(S=f(t)\)；

\((\)Ⅱ\() a\geqslant \)\( \dfrac{2+ \sqrt{2}}{2}\)时，求函数\(S=f(t)\)在区间\((0,1]\)上的最大值．

已知函数\(f(x)=x\ln x\)，若对任意的\(x\geqslant 1\)都有\(f(x)\geqslant ax-1\)，则实数\(a\)的取值范围是 (    )

已知函数\(f(x)=a\ln x-ax-3(a\neq 0)\)．

\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；

\((2)\)若\(f(x)+(a+1)x+4-e\leqslant 0\)对任意\(x∈[e,e^{2}]\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\((e\)为自然对数的底数\()\)；

\((3)\)求证：\(\ln (2^{2}+1)+\ln (3^{2}+1)+\ln (4^{2}+1)+…+\ln (n^{2}+1) < 1+2\ln n！(n\geqslant 2,n∈N^{*}).\)

直线\(y=b\)分别与直线\(y=2x+1\)和曲线\(y=\ln x\)相交于点\(A\)、\(B\)，则\(\left| AB \right|\)的最小值为_____。

已知函数\(f(x)=a\ln x-b{{x}^{2}}\)，\(a,b\in R.\)若不等式\(f(x)\geqslant x\)对所有的\(b\in (-\infty ,0],x\in (e,{{e}^{2}}]\)都成立，则\(a\)的取值范围是(    )

已知函数\(f\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{2}}+ax-a}{{{e}^{x}}}(x > 0,a\in R)\)．

\((1)\)当\(a=1\)时，求函数\(f\left( x \right)\)的极值；

\((2)\)设\(g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)+{f}{{{'}}}\left( x \right)}{x-1}\)，若函数\(g\left( x \right)\)在\(\left( 0,1 \right)\cup \left( 1,+\infty \right)\)内有两个极值点\({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)，求证： \(g\left( {{x}_{1}} \right)\cdot g\left( {{x}_{2}} \right) < \dfrac{4}{{{e}^{2}}}\)．

已知函数\(f(x)=(x+a-1)e^{x}\)．

\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；

\((2)\)若对任意\(x∈[0,+∞)\)，不等式\(f(x)\geqslant \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+ax\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

设函数\(f(x)=e^{x}-e^{-x}\)．

\((1)\)证明：\(f(x)\)的导数\(f′(x)\geqslant 2\)；

\((2)\)若对所有\(x\geqslant 0\)都有\(f(x)\geqslant ax\)，求\(a\)的取值范围．