知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-ax%5E%7B2%7D%2Bbx$ （a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=x³-3x²-9x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点A（e，f（e））处的切线斜率为3
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式f（x）-kx+k＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大整数值．

难度：较易

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4．设函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dmx%5E%7B2%7D$ -2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判断x=1能否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[-4，-1），使得定义在[1，t]上的函数g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1处取得最大值，求实数t的最大值．

难度：中等

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5．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-x%5E%7B2%7D%2B8%280%E2%89%A4x%E2%89%A45%29$ ，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）

A．8

B． $%20%5Cfrac%20%7B20%7D%7B3%7D$

C．-1

D．-8

难度：易

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6．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

难度：较易

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7．已知f（x）=（x²-4）（x-a），其中a∈R．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，4]上的最大值．

难度：较易

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8．设函数f（x）=-x³+ax²+bx+c的导数f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数，且f′（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于区间[1，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤c，其中g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ f（x）-6lnx，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m），能作曲线y=xf（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=alnx+ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ -（a+1）x．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明 $f%28x%29%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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