知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\ln x\)．

\((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\(\left( e,+\infty \right)\)内有极值，求实数\(a\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，对任意\(t\in \left( 1,+\infty \right),s\in \left( 0,1 \right)\)，求证：\(f(t)-f(s) > e+2-\dfrac{1}{e}\)．

难度：较难

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2．
已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-ax+a(a∈R)\)．

\((1)\)若函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上为单调递增函数，求实数\(a\)的取值范围；

\((2)\)若函数\(f(x)\)在\(x=x_{1}\)和\(x=x_{2}\)处取得极值，其中\(x_{2}\geqslant ex_{1}(e\)为自然对数的底数\()\)，求\(f(x_{2})-f(x_{1})\)的最大值．

难度：难

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3．

已知函数\(f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{8}-\ln x\)，\(x∈[1,3]\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最大值与最小值；

\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x) < 4-at\)对任意的\(x∈[1,3]\)，\(t∈[0,2]\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较难

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4．

已知函数\(f(x)={{e}^{x}}\sin x\)，其中\(x\in R\)，\(e=2.71828\cdots \)为自然对数的底数．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；

\((\)Ⅱ\()\)当\(x\in [0,\dfrac{\pi }{2}]\)时，\(f(x)\geqslant kx\)，求实数\(k\)的取值范围．

难度：难

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5．
已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {a}{x}+b(x\neq 0)\)，其中\(a\)，\(b∈R\)．
\((\)Ⅰ\()\)若曲线\(y=f(x)\)在点\(P(2,f(2))\)处的切线方程为\(y=3x+1\)，求函数\(f(x)\)的解析式；
\((\)Ⅱ\()\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((\)Ⅲ\()\)若对于任意的\(a∈[ \dfrac {1}{2},2]\)，不等式\(f(x)\leqslant 10\)在\([ \dfrac {1}{4},1]\)上恒成立，求\(b\)的取值范围．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)=\sin x-ax\)．
\((\)Ⅰ\()\)对于\(x∈(0,1)\)，\(f{{'}}(x) > 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a=1\)时，令\(h(x)=f(x)-\sin x+\ln x+1\)，求\(h(x)\)的最大值．

难度：较易

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7．
据统计某种汽车的最高车速为\(120\)千米\(∕\)时，在匀速行驶时每小时的耗油量\(y(\)升\()\)与行驶速度\(y(\)千米\(∕\)时\()\)之间有如下函数关系：\(y= \dfrac {1}{128000}x^{3}- \dfrac {3}{80}x+8.\)已知甲、乙两地相距\(100\)千米．
\((\)Ⅰ\()\)若汽车以\(40\)千米\(∕\)时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？
\((\)Ⅱ\()\)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

难度：较易

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8．

若\(∀x > 0\)，\(4a > x^{2}-x^{3}\)恒成立，则\(a\)的取值范围为\((\)　　\()\)

A．\(( \dfrac {1}{27},+∞)\)

B．\(( \dfrac {4}{27},+∞)\)

C．\([ \dfrac {1}{27},+∞)\)

D．\([ \dfrac {4}{27},+∞)\)

难度：较难

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9．
当\(x∈[-2,1]\)时，不等式\(ax^{3}-x^{2}+4x+3\geqslant 0\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是 ______ ．

难度：中等

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10．

已知函数\(f(x)=\begin{cases}{e}^{x}-1,(x > 0) \\ \dfrac{3}{2}x+1,(x\leqslant 0)\end{cases} \)，若\(m < n \)，且\(f(m)=f(n) \)，则\(n-m \)的取值范围是

A．\(\left[\ln 2,\ln \dfrac{3}{2}+ \dfrac{1}{3}\right] \)

B．\([\ln 2,\ln \dfrac{3}{2}+ \dfrac{1}{3}) \)

C．\(( \dfrac{2}{3},\ln 2] \)

D． \(( \dfrac{2}{3},\ln \dfrac{3}{2}+ \dfrac{1}{3}] \)

难度：难

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