知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数\(f(x)=x+{{e}^{x-a}}\)，\(g(x)=\dfrac{1}{2}\ln (2x+1)-4{{e}^{a-x}}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在实数\({{x}_{0}}\)，使\(f({{x}_{0}})-g({{x}_{0}})=4\)成立，则实数\(a\)的值为\((\) \()\)

A．\(\ln 2-1\)

B．\(1-\ln 2\)

C．\(\ln 2\)

D．\(-\ln 2\)

难度：难

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2．

当函数\(y=x+2\cos x\)在\(\left[0, \dfrac{π}{2}\right] \)上取得最大值时，\(x\)的值为 \((\) \()\)

A．\(0\)

B．\(\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{{6}}\)

C．\(\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{3}\)

D．\(\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{{2}}\)

难度：较易

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3．
已知函数\(f(x){=-}x^{2}{+}{ax}{-}\ln x{-}1\) ．

\((1)\)当\(a{=}3\)时，求函数\(f\mathrm{(}x\mathrm{)}\)的单调区间；

\((2)\)函数\(f\mathrm{(}x\mathrm{)}\)在\(\mathrm{(2{,}4)}\)上是减函数，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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4．
已知函数\(f(x)=\left( a-\dfrac{1}{2} \right){{x}^{2}}+\ln x(a\in R)\)．

\((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在区间\([1,e]\)上的最大值和最小值；

\((2)\)若在区间\((1,+∞)\)上，函数\(f(x)\)的图像恒在直线\(y=2ax\)下方，求\(a\)的取值范围．

难度：较难

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5．
已知函数\(f\left(x\right)=a{x}^{2}+1\left(a > 0\right),g\left(x\right)={x}^{3}+bx \)．

\((1)\)若曲线\(y=f\left(x\right) \)与曲线\(y=g\left(x\right) \)在它们的交点\(\left(1,c\right) \)处具有公共切线，求\(a\)，\(b\)的值；

\((2)\)当\(a=3\)，\(b=-9\)时，若函数\(y=f\left(x\right)+g\left(x\right) \)在区间\(\left[k,2\right] \)上的最大值为\(28\)，求\(k\)的取值范围．

难度：中等

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6．

函数\(y=x+2\cos x\)在区间\(\left[0, \dfrac{π}{2}\right] \)上的最大值是________．

难度：较难

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7．

若存在正实数\(m\)，使得关于\(x\)方程\(x-k(x+m-2ex)[\ln (x+m)-\ln x]=0\)有两个不同的实根，其中\(e\)为自然对数的底数，则实数\(k\)的取值范围是________

难度：难

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8．
．设函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)\(=\)\((\)\(x-\)\(1)^{3}\)\(-ax-b\)，\(x\)\(∈R\)，其中\(a\)，\(b\)\(∈R\)．

\((1)\)求\(f\)\((\)\(x\)\()\)的单调区间\(;\)

\((2)\)若\(f\)\((\)\(x\)\()\)存在极值点\(x\)\({\,\!}_{0}\)，且\(f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1})\)\(=f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{0})\)，其中\(x\)\({\,\!}_{1}\neq \)\(x\)\({\,\!}_{0}\)，求证：\(x\)\({\,\!}_{1}\)\(+\)\(2\)\(x\)\({\,\!}_{0}\)\(=\)\(3;\)

\((3)\)设\(a > \)\(0\)，函数\(g\)\((\)\(x\)\()\)\(=|f\)\((\)\(x\)\()\)\(|\)，求证：\(g\)\((\)\(x\)\()\)在区间\([0,2]\)上的最大值不小于\( \dfrac{1}{4} \)．

难度：中等

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9．已知函数\(f(x)=(x-k)e^{x}(k∈R)\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的单调区间和极值；
\((2)\)求\(f(x)\)在\(x∈[1,2]\)上的最小值；
\((3)\)设\(g(x)=f(x)+f′(x)\)，若对\(∀^{\;\;}k∈[ \dfrac {3}{2}, \dfrac {5}{2}]\)及\(∀x∈[0,1]\)有\(g(x)\geqslant λ\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：中等

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10．
已知\(f(x)=\ln x,g(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}+3x+1\)，\(e\)为自然对数\(\ln x\)的底数．
\((\)Ⅰ\()\)若函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)当\(0 < α < β\)时，求证：\(\alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) > (\alpha +\beta )f( \dfrac {\alpha +\beta }{2})\)；
\((\)Ⅲ\()\)求\(f(x)-x\)的最大值，并证明当\(n > 2\)，\(n∈N^{*}\)时，\(\log _{2}e+\log _{3}e+\log _{4}e\cdots +\log _{n}e > \dfrac {3n^{2}-n-2}{2n(n+1)}\)．

难度：难

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