已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(n{a}_{n}-\left(n+1\right){a}_{n-1}=2{n}^{2}+2n(n=2,3,4...),{a}_{1}=6 \)

\((1)\)求证\(\left\{ \dfrac{{a}_{n}}{n+1}\right\} \)为等差数列，并求出\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式

\((2)\)数列\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\(S_{n,}\)求求证：\({S}_{n} < \dfrac{5}{12} \)

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)各项均为正数，\({{S}_{n}}\)为其前\(n\)项和，满足\({{S}_{n}}={{(\dfrac{1+{{a}_{n}}}{2})}^{2}}\)，

\((1)\)求\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)令\({{b}_{n}}=a_{n}^{2},n\in {{N}^{*}}\)，证明：\(\dfrac{1}{{{b}_{1}}}+\dfrac{1}{{{b}_{2}}}+\dfrac{1}{{{b}_{3}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{b}_{n}}} < \dfrac{5}{4}\)

已知数列\(\{a_{n}\}\)各项均为正数，且\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}-a_{n}=0(n∈N^{*}).\)

\((1)\)设\(b_{n}= \dfrac{1}{a_{n}}\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ \left. \dfrac{a_{n}}{n+1} \right. \right\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

已知数列\(\left\{ a_{n} \right\}\)是公比为\(2\)的等比数列，且\(a_{2}\)，\(a_{3}{+}1\)，\(a_{4}\)成等差数列．

\((1)\)求数列\(\left\{ a_{n} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)记\({{b}_{n}}={{\log }_{2}}{{a}_{n+1}}\)，\({{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{b}_{n}}\cdot {{b}_{n+1}}}\)求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

已知\(f(x)\) 是定义在\(R\) 上的不恒为零的函数，且对于任意的_{\(a,b∈R \)}，满足_{\(f(a,b)=af(b)+bf(a) \)}，\(f(2)=2\)，数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 满足_{\({a}_{n}= \dfrac{f({2}^{n})}{{2}^{n}}(n∈{N}^{*}) \)}．

\((1)\)求数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 的通项公式；

\((2)\)若存在正整数_{\(n\in [1,10]\)} ，使得_{\(m{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{n}}-2m-1 < 0\)} 成立，求实数_\(m\) 的取值范围。

将参加夏令营的\(600\)名学生编号为\(1\)，\(2\)，\(…\)，\(600.\)采用系统抽样方法抽取一个容量为\(50\)的样本，且随机抽得的号码为\(3.\)这\(600\)名学生分住在三个营区，从\(001\)到\(300\)在第Ⅰ营区，从\(301\)到\(495\)在第Ⅱ营区，从\(496\)到\(600\)在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 (    )

\(《\)算法统宗\(》\)是我国古代数学名著\(.\)在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三生九，上梢三节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明\(！\)大意是：用一根\(8\)节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端\(3\)节可盛米\(3.9\)升，上端\(3\)节可盛米\(3\)升\(.\)要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出这根八节竹筒的容积为(    )