知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较难

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2．已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}为等差数列；
（2）若n为偶数，且bn=2f(-1)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=6，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
an+1
an+2
+
an+2
an+1
，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜2n+
1
2
．

难度：中等

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4．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=
1
qk-1
．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）若q₁=2，设c_n=
bn
bn+1
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求证：a₂，a₈，a₅成等差数列；
（Ⅱ）若a₁-a₄=3，求a₁+a₄+a₇+…a₃₁．

难度：中等

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7．已知{a_n}（n=1，2，3，…）是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（1）若{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（2）设d是非负整数，证明：d_n=-d的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=5n²+3n．
（1）求a₆+a₇+a₈；
（2）求通项a_n；
（3）判断数列{a_n}是否是等差数列．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q为常数）．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{a_n}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-
1
an-1
，b_n=
1
an-1
，解答下列问题：
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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