知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，满足点P（a_n，a_n+1）是函数f（x）=3x图象上的点，且a₁=3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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2．数列{a_n}的通项为a_n=（-1）ⁿ（2n+1）•sin
nπ
2
+1，前n项和为S_n，则S₁₀₀= ．

难度：较难

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3．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a（a＞0），该数列的前n项和为S_n，且
1
a1
，
1
a2
，
1
a4
成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（Ⅱ）设b_n=
1
Sn
，c_n=
1
a2n-1
，且B_n，C_n分别为数列{b_n}，{c_n}的前n项和，当n≥2时，试比较B_n与C_n的大小．

难度：中等

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4．已知正项数列{a_n}，若前n项和S_n满足8S_n=a_n²+4a_n+3，且a₂是a₁和a₇的等比中项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b_n=[log₂（
an+3
4
）]，求b₁+b₂+b₃+…b2n．

难度：中等

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5．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，对任意n∈N^*，都有2S_n=（n+1）a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
4
an(an+2)
}的前n项和为T_n，求证：
1
2
≤T_n＜1．

难度：中等

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6．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•2 an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1-2S_n=1-n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
4
3
．

难度：中等

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8．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足8S_n=a

2
n
+4a_n+3（∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
n
(2n+1)Sn
，是否存在一个最小的常数M，使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的n∈N^*均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₅=30，S₁₀=110，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n=
3
2
b_n-
1
2
（n∈N^*）．
（1）求S_n与b_n；
（2）比较S_nb_n与T_na_n的大小，并说明理由．

难度：中等

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10．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=
n+a cSn+a
（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

难度：较难

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n+a	cSn+a