知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

设各项均为正数的数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\(4{{S}_{n}}=a_{^{_{n+1}}}^{2}-4n-1\)，且\({{a}_{1}}=1\)，公比大于\(1\)的等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{2}}=3\)，\({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=10\)．

\((1)\)求证数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，并求其通项公式；

\((2)\)若\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{3{{b}_{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，若\({{c}_{n}}\leqslant {{t}^{2}}+\dfrac{4}{3}t-2\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

难度：难

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2．

设\(M\subseteq {{N}^{+}}\)，正项数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项的积为\({{T}_{n}}\)，且\(\forall k\in M\)，当\(n > k \)时，\(\sqrt{{{T}_{n+k}}{{T}_{n-k}}}={{T}_{n}}{{T}_{k}}\)都成立．

\((1)\)若\(M=\{1\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{3}\)，\({{a}_{2}}=3\sqrt{3}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；

\((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{2}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式．

难度：较难

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3．
若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

\((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：难

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4．

已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)满足\({a}_{1}=1 \)，\({a}_{n+1}-{a}_{n}\geqslant 2\left(n∈{N}^{*}\right) \)，则\((\) \()\)

A．\({a}_{n}\geqslant 2n+1 \)

B．\({a}_{n}\geqslant {2}^{n-1} \)

C．\({S}_{n}\geqslant {n}^{2} \)

D．\({S}_{n}\geqslant {2}^{n-1} \)

难度：较易

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5．
数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项\({{a}_{n}}={{n}^{2}}({{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{3}-{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{3})\)，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，则\({{S}_{30}}\)为_______．

难度：难

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6．已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n} > 1\)且\(6S_{n}=(a_{n}+1)(a_{n}+2)\)，\(n∈N^{*}\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(b_{n}=-a_{n}+19\)，求数列\(\{|b_{n}|\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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7．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，_{\({{a}_{n}}+\dfrac{{{a}_{n+1}}}{2{{a}_{n+1}}-1}=0\)}．

\((\)Ⅰ\()\)求证：数列_{\(\left\{ \dfrac{1}{{{a}_{n}}} \right\}\)}是等差数列；

\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=2\)，_{\(\dfrac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}\)}，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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8．若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}-(-1)^{n}a_{n-1}=n(n\geqslant 2)\)，\(S_{n}\)是\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{40}=\)________．

难度：难

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9．
设\(S_{n}\)是数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+1(n∈{N}^{∗}) \)
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若\(\dfrac{b_{n}}{a_{n}}{=}3n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较难

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10．
已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差为正数的等差数列，\(a_{2}\)和\(a_{5}\)是方程\(x^{2}-12x+27=0\)的两个实数根，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(3^{n-1}b_{n}=na_{n+1}-(n-1)a_{n}\)

\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(T_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\(T_{n}\)

难度：较易

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