知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当Tn≥
m
20
对所有n∈N^*都成立m取值范围．

难度：中等

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3．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=
bn
1+2bn

（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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5．设数列{a_n}的前项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=6，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
an+1
an+2
+
an+2
an+1
，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜2n+
1
2
．

难度：中等

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6．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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7．设函数f（x）=
x
2
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x_n}．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=
xn
2π
，设数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为s_n，求证S_n＜
3
2
．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a1=6，an+1=4-
4
an
(n为正整数）．
（Ⅰ）求证：数列{
an+2
an-2
}为等差数列；
（Ⅱ）若bn=
an
(2n+1)2
，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项b_n=
4
(an-1)(an+1-1)
，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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10．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
anan+1
}前n项和为T_n，问满足Tn＞
100
209
的最小正整数n是多少？．

难度：中等

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