知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，（n+1）a_n+1-（n+2）a_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=n•（-
6
3
）
Sn
n
，且b_n≤M对任意的n∈N^*恒成立，求M的最小值．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=15．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
an
2an
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列{
an
2n
}是等差数列；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=
n
(n+1)•22n-1
•an，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：中等

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4．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
2
3
且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前项n和T_n．

难度：中等

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5．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=4a_n+3，a₁=1．
（1）设b_n=log₂（a_n+1），求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）设c_n=
2(an+1)
•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

难度：中等

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6．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且a_n+2-2a_n+1+a_n=1，则
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
的最小值为．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a，b；
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足2S_n=1-2a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求证：数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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9．数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n-1，则a₁+a₃+a₅+…+a₉₉= ．

难度：中等

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10．若数列{a_n}中，a₁=

，a_n+1+2a_n=0（n∈N^*），则S₅=（　　）

A．-

B．-

C．

D．

难度：较易

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