知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若函数\(y=x^{2}-2x\)在\(x=a_{n}\)处的切线斜率为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)，满足点\((n,b_{n})(n∈N*)\)在直线\(y=x\)上．
\((1)\)分别求\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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2．
已知\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\(3S_{n}=1-a_{n}\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{\log _{2}a_{n}\cdot \log _{2}a_{n+1}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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3．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=6\)，\(a_{5}+a_{8}=26\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=2^{a_{n}}+n\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：中等

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4．
设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\(S_{n}=2a_{n}-2\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{ \dfrac {2-n}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2^{n}+n-1\)，其中\(n∈N*\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=2n(a_{n}-1)\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较难

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6．
已知在\(\triangle ABC\)中，\(2B=A+C\)，且\(c=2a\)．
\((1)\)求角\(A\)，\(B\)，\(C\)的大小；
\((2)\)设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}=2^{n}|\cos nC|\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{n}=20\)，求\(n\)的值．

难度：较易

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7．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2S_{n}=1-a_{n}(n∈N^{*}).\)
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{\log _{ \frac {1}{3}}a_{n}}\)，\(c_{n}= \dfrac { \sqrt {b_{n}b_{n+1}}}{ \sqrt {n+1}+ \sqrt {n}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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8．
已知\(n^{3}(n∈N^{*})\)有如下的拆分方式：\(1^{3}=1\)，\(2^{3}=2+4+2\)，\(3^{3}=3+6+9+6+3\)，\(…\)，这些通过拆分得到的数可组成右边的数阵：
\((1)\)认真观察数阵，求和：\(1^{3}+2^{3}+…+n^{3}\)；
\((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)中的每一项都大于\(0\)，证明：\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n\)的充要条件是对任意的\(n∈N^{*}\)，都有\( \dfrac { a_{ 1 }^{ 3 }+ a_{ 2 }^{ 3 }+…+ a_{ n }^{ 3 }}{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}= \dfrac {1}{2}n(n+1)\)．

难度：较易

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=1-na_{n}(n∈N^{*})\)
\((1)\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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10．
设\(S_{n}\)为各项不相等的等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\(a_{3}a_{5}=3a_{7}\)，\(S_{3}=9\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)通项公式；
\((2)\)设\(T_{n}\)为数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和，求\( \dfrac {T_{n}}{a_{n+1}}\)的最大值．

难度：较难

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