知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．等差数列{a_n}中，a₇=8，a₁₉=2a₉．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
nan
求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）
（1）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（2）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（3）记f(n)=
1
2
(
|sinn|
sinn
+3)，Tn=
(-1)f(2)
a1a2
+
(-1)f(3)
a3a4
+
(-1)f(4)
a5a6
+…+
(-1)f(n+1)
a2n-1a2n
，求T_n的最值．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}的首项a₁=1，∀n∈N⁺，a_n+1=
2an
2+an
．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）求数列{
an
n
}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且数列{a_n}的前n 项和S _n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）记数列b_n=
an
3n
，试归纳数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜3．

难度：中等

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6．已知在等差数列{a_n}中，a₁=-31，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₁₀=S₂₂．
（1）求{a_n}的通项公式，并判断2015是否是数列{a_n}的项；
（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？

难度：中等

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7．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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8．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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9．各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=
3n2+n
2
(n∈N+)．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n+（-1）ⁿb_n，求数列{c_n}的前n项和U_n；
（3）令d_n=
bn
an
（n∈N⁺），数列{d_n}的前n项和为T_n，若T_n≥t²+t恒成立，求t的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足
lim
n→∞
b_n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）．

难度：较难

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