知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=
2max{an+1，2}
an
（n∈N），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为．

难度：较难

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2．数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）
（1）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（2）若数列{x_n}是递增数列，求c的取值范围．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，an=

an-1

an-2

（n≥3，且n∈N^*），则a₂₀₁₅=（　　）

A．

B．1

C．2

D．2^-2015

难度：中等

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4．（文）在数列{a_n}中，a₁=2，且对任意大于1的正整数n，点（
an
，
an-1
）在直线y=x-
2
上，则
lim
n→∞
an
(n+1)2
= ．

难度：较难

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5．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-
1
22015
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
＜1．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}满足：a₁=a，an+1=
1
2-an

（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a1=
7
6
，an+1=
1
2
an+
1
3
，
（1）当an≠
2
3
时，求证{an-
2
3
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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8．对于数列{a_n}，若∀m，n∈N^*（m≠n），均有
am-an
m-n
≥t（t为常数），则称数列{a_n}具有性质P（t）
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，具有性质P（t），则t的最大值为
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-
a
n
，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．

难度：较难

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9．设各项均为正数的数列{a_n}满足
Sn
an
=pn+r（p，r为常数），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{a_n}是等差数列；
（2）若p=
1
3
，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a₂₀₁₅=2015a₁，求p•r的值．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_n=
3+(-1)n
2
且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
（1）求a₂，a₃的值：
（2）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，证明：{c_k}是等比数列．

难度：中等

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