知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．正项数列{a_n}满足a₁=
1
4
，a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，则通项a_n= ．

难度：中等

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2．数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=
3
2
an-
1
2
a1，且a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
an+1
SnSn+1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-1+2a_n
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求
1
T1
+
1
T2
+…+
1
Tn
．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}前n项和S_n满足：2S_n+a_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
2
log3an•log3an+1
，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

难度：中等

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5．若a₁=1，对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且na_n+1²-（2n-1）a_n+1a_n-2a_n²=0设M（x）表示整数x的个位数字，则M（a₂₀₁₇）= ．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足na_n+2-（n+2）a_n=λ（n²+2n），其中a₁=1，a₂=2，若a_n＜a_n+1对∀n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是．

难度：中等

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7．下列命题：
①命题p：∃x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式sinα+sin(
2
3
π+α)+sin(
4
3
π+α)的值与角α有关；
③将函数f(x)=3sin(2x-
π
3
)的图象向左平移
π
3
个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列a_n满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S₂₀₁₁=m；其中正确的命题的序号是（把所有正确的命题序号写在横线上）．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0，1）和B（3，27）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{a_n}中，已知a₁=f（2），a_n+1=2a_n+f（n）（其中n∈N^*），求{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．

难度：较难

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10．设函数f（x）满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）求证：
3
2
≤（1+
1
2f(n-1)
）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

难度：较难

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