知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求S_n及实数λ的取值范围．

难度：中等

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2．已知{b_n}为单调递增的等差数列，b₃+b₈=26，b₅b₆=168，设数列{a_n}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=2bn
（1）求数列{b_n}的通项；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n，3a_n-2S_n=2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n+2S_n＜
S
2
n+1
．

难度：中等

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4．数列{a_n}各项均为正数，a₁=
1
2
，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0）．
（1）求
c
1+ca1
+
c
1+ca2
+
1
a3
的值；
（2）若c=
1
2016
，是否存在n∈N^*，使得a_n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知f（x）=（a-ln x）x-1．
（I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正项数列{a_n}满足a₁=e，a_n+1=
an-1
lnan
，求证：a_n＞e
1
2n
．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n，b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^*．点（b_n，n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=
1
an•f(b2n-1)
，求数列{C_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S_n+a_n=2n．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

难度：中等

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8．若数列{a_n}对任意n∈N^*，满足
an+2-an+1
an+1-an
=k（k为常数），则称数列{a_n}为等差比数列．
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2（a_n-1），求数列{a_n}的通项公式，并判断数列{a_n}是否为等差数列；
（2）若数列{a_n}为等差数列，试判断{a_n}是否一定为等差比数列，并说明理由；
（3）试写出一个等差比数列的通项公式a_n，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足a₁=4．a_n=4-
4
an-1
（n＞1，n∈N₊）记b_n=
1
an-2
．
（1）试判{b_n}是否为等差数列？说明理由．
（2）若a_n=
an-1
4an-1+1
（n＞1，n∈N₊），能否判断数列{
1
an
}是等差数列？

难度：较易

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10．已知等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N⁺，
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
”是真命题．

难度：中等

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