知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n} 是一个首项为a₁ ，公比q＞0 的等比数列，前n项和为S_n ，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n_﹣₁ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7D-2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B3%7D-2%7D%2B%E2%80%A6%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D-2%7D%29$ 的值．

难度：较易

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3．已知等差数列{a_n}的公差不为0，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为B_n，公比为q，且q≠-1，求
lim
n→∞
(
Sn
nan
+
Bn
bn
)的值．

难度：中等

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4．设数列的首项a₁=a（a≠
1
4
），a_n+1=
1
2
an，n=2k
an+
1
4
，n=2k-1
（k∈N^*），且b_n=a_2n-1-
1
4
（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求
lim
n→∞
（b₁+b₂+…+b_n）．

难度：较难

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5．已知点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
1
n|P1Pn|
(n≥2)，求
lim
n→∞
(c2+c3+…+cn)的值；
（3）若d_n=2d_n-1+a_n-1（n≥2），且d₁=1，求证：数列{d_n+n}为等比数列，并求{d_n}的通项公式．

难度：中等

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6．在数列{a_n}中，a₁=2，且
.
1 3
an+1 an
.
=0(n∈N*)，数列{a_n}前n项和为S_n，求
lim
n→∞
Sn的值．

难度：较易

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7．（理）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a
•
b
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn；
（3）在点列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在两点A_i，A_j（i，j为正整数）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前五项是一个以-2为首项，以3为公差的等差数列，从第五项起数列{a_n}成等比数列，若S_n为数列{a_n}的前n项和，且
lim
n→∞
S_n=40，求
（1）数列{a_n}的通项公式
（2）数列{a_n}的前n项和S_n的表达式．

难度：中等

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9．设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+
1
xn+1
＜1（n∈N₊），证明，x_n≤1（n∈N₊）．

难度：中等

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10．已知焦点为F₁（0，-
5
），F₂（0，
5
）的双曲线C在第一象限内部分记为T，点P_n（n，y_n）（n=1、2、…）在T上，Pn到直线l：y=2x+k的距离为d_n，且
lim
n→∞
d_n=
5
．
（1）设双曲线半虚轴长为b，试用b表示d_n；
（2）求双曲线C的方程及k值；
（3）线段P_nP_n+1的垂直平分线与x轴交于点（x_n，0）（n=1、2、…），试证{x_n}成等差数列并求通项公式．

难度：中等

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