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          共50条信息

            • 1． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，4Sn=an•an+1，n∈N*．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设数列{
              1
              an2
              }              与的前n项和为Tn，求证：
              n
              4n+4
              ＜Tn＜
              1
              2
              ．
              难度：中等
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            • 2． 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=log2an，cn=
              2
              bnbn+1
              ，记数列{cn}的前n项和为Tn．若对于任意的n∈N*，Tn≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．
              难度：中等
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            • 3． 已知函数f （x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a1=f（d-1），a3=f （d+1），b1=f （q-1），b3=f （q+1），
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）若数列{an}的前n项和为Sn，
              ①求证：对任意的n≥2，（n∈N*）时  
              1
              S2
              +
              1
              S3
              +…+
              1
              Sn
              ＜1
              ②设数列{cn}对任意的自然数n均有
              c1
              b1
              +
              c2
              b2
              +
              c3
              b3
              +…+
              cn
              bn
              =Sn+1              成立，求c1+c2+c3+…+cn的值．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p为大于1的常数），记f（n）=
              1+
              C
              1
              n
              a1+
              C
              2
              n
              a2+…+
              C
              n
              n
              an
              2nSn
              ．
              （1）求an；
              （2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N*）．
              难度：较难
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            • 5． 设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
              		3
              3
              x              相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
              （1）证明{rn}为等比数列（提示：
              rn
              λn
              =sinθ              ，其中θ为直线y=
              		3
              3
              x              的倾斜角）；
              （2）设r1=1，求数列{
              n
              rn
              }              的前n项和Sn；
              （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
              9
              4
              -
              an
              rn
              成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 6． 设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
              1
              2
              +log2
              x
              1-x
              图象上任意两点，且
              OM
              =
              1
              2
              （
              OA
              +
              OB
              ），已知点M的横坐标为
              1
              2
              ，且有Sn=f（
              1
              n
              ）+f（
              2
              n
              ）+…+f（
              n-1
              n
              ），其中n∈N*且n≥2，
              （1）求点M的纵坐标值；
              （2）求s2，s3，s4及Sn；
              （3）已知an=
              1
              (Sn+1)(Sn+1+1)
              ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
              难度：较难
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            • 7． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
              难度：较难
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            • 8． 已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=
              1
              4
              x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=
              1
              4
              x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
              （1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
              （2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
              （3）设数列{
              1
              an•(
              3
              2
              +cn)
              }的前n项和为Sn，求证：
              2
              3
              ≤Sn＜
              4
              3
              ．
              难度：较难
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            • 9． 已知点集L={(x，y)|y=
              m
              •
              n
              }              ，其中
              m
              =(2x-b，1)，
              n
              =(1，b+1)              ，点列Pn（an，bn）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N+．
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）若f(n)=
              an(n=2k-1)
              bn(n=2k)
              (k∈N+)              ，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
              （3）求证：
              1
              |P1P2|2
              +
              1
              |P1P3|2
              +…+
              1
              |P1Pn|2
              ＜
              2
              5
              （n≥2，n∈N*）．
              难度：较难
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            • 10． 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
              2x
              1-2x
              ，x≠
              1
              2
              -1，x=
              1
              2
              的图象上的任意两点，点M在直线x=
              1
              2
              上，且
              AM
              =
              MB
              ．
              （1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
              （2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f(
              1
              n
              )+f(
              2
              n
              )+f(
              3
              n
              )+…+f(
              n-1
              n
              )              ，设an=2Sn，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
              Tm-c
              Tm+1-c
              ＜
              1
              2
              成立，求c和m的值．
              （3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．
              难度：较难
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