知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

难度：中等

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2．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，S₄=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

难度：中等

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3．设{x_n}是首项为x₁=2，公比为q（q∈N^*）的等比数列，且6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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5．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
anan+1
，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设c_n=
1
an2
，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜
25
36
．

难度：中等

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6．己知数列{a_n}和致列{b_n}满足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-
2n
3
+
4
9
．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ）当λ=-
1
2
，m≠
2
9
时，判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前项和，在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得对任意的正整数n，都有
1
3
≤S_n≤
2
3
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（-1）^n-1•λ•b_n+2 an（λ为非零实数，n为正整数），试确定实数λ的取值范围，使得对任意的正整数n，都有c_n+1＞c_n恒成立．

难度：中等

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8．已知等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N⁺，
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
”是真命题．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（
1
2
）^n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2ⁿa_n，c_n=
1
2
b
2
n
-bn
，若T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证T_n＜
3
2
．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中a₁=1，其前n项和记为S_n，且满足3（S₁+S₂+…+S_n）=（n+2）S_n．
（1）求数列{
Sn
(n+1)n
}的通项公式；
（2）设无穷数列b₁，b₂，…b_n，…对任意自然数m和n，不等式|b_m+n-b_m-b_n|＜
1
m+an
均成立，证明：数列{b_n}是等差数列．

难度：较难

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