知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项是\(1\)，公比为\(3\)，等差数列\(\{b_{n}\}\)的首项是\(-5\)，公差为\(1\)，把\(\{b_{n}\}\)中的各项按如下规则依次插入到\(\{a_{n}\}\)的每相邻两项之间，构成新数列\(\{c_{n}\}\)：\(a_{1}\)，\(b_{1}\)，\(a_{2}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(a_{3}\)，\(b_{4}\)，\(b_{5}\)，\(b_{6}\)，\(a_{4}\)，\(…\)，即在\(a_{n}\)和\(a_{n+1}\)两项之间依次插入\(\{b_{n}\}\)中\(n\)个项，则\(c_{2018}=\) ______ \(.(\)用数字作答\()\)

难度：较易

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3．
在\(n×n(n\geqslant 2)\)个实数组成的\(n\)行\(n\)列的数表中，\(a_{i,j}\)表示第\(i\)行第\(j\)列的数，记\(r_{i}=a_{i1}+a_{i2}+…+a_{in}(1\leqslant i\leqslant n).c_{j}=a_{1j}+a_{2j}+…+a_{nj}(1\leqslant j\leqslant n)\)若\(a_{i,j}∈\{-1,0,1\}\) \(((1\leqslant i,j\leqslant n))\)，且\(r_{1}\)，\(r_{2}\)，\(…\)，\(r_{n}\)，\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(..\)，\(c_{n}\)，两两不等，则称此表为“\(n\)阶\(H\)表”，记\(H=\{\) \(r_{1}\)，\(r_{2}\)，\(…\)，\(r_{n}\)，\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(..\)，\(c_{n}\}.\)
\((I)\)请写出一个“\(2\)阶\(H\)表”；
\((II)\)对任意一个“\(n\)阶\(H\)表”，若整数\(λ∈[-n,n]\)，且\(λ∉H_{n}\)，求证：\(λ\)为偶数；
\((\)Ⅲ\()\)求证：不存在“\(5\)阶\(H\)表”．

难度：中等

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4．
在数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=λ\)，满足\(a_{2^{n-1}},a_{2^{n-1}+1},a_{2^{n-1}+2},…,a_{2^{n}}\)是等差数列\((\)其中\(n\geqslant 2\)，\(n∈N)\)，且当\(n\)为奇数时，公差为\(d\)；当\(n\)为偶数时，公差为\(-d\)．
\((1)\)当\(λ=1\)，\(d=1\)时，求\(a_{8}\)的值；
\((2)\)当\(d\neq 0\)时，求证：数列\(\{|a_{2^{n+2}}-a_{2^{n}}|\}(n∈N^{*})\)是等比数列；
\((3)\)当\(λ\neq 1\)时，记满足\(a_{m}=a_{2}\)的所有\(m\)构成的一个单调递增数列为\(\{b_{n}\}\)，试求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式．

难度：较易

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5．
\((1)\)已知\(a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})\)，比较\( \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}\)与\( \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}\)的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
\((2)\)求证：\( \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)．

难度：较易

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6．

已知公比不为\(1\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{2}\)，\(2a_{5}\)，\(3a_{8}\)成等差数列，则\( \dfrac {3S_{3}}{S_{6}}=(\)　　\()\)

A．\( \dfrac {13}{4}\)

B．\( \dfrac {13}{12}\)

C．\( \dfrac {9}{4}\)

D．\( \dfrac {11}{12}\)

难度：易

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7．

若\(a\)，\(b\)是函数\(f(x)=x^{2}-px+q(p > 0,q > 0)\)的两个不同的零点，且\(a\)，\(b\)，\(-2\)这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则\(a+b\)的值等于\((\)　　\()\)

A．\(4\)

B．\(5\)

C．\(6\)

D．\(7\)

难度：较易

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8．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}= \dfrac {n}{n+a}(n,a∈N*)\)．
\((1)\)若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{4}\)成等差数列，求\(a\)的值；
\((2)\)是否存在\(k(k\geqslant 10\)且\(k∈N*)\)与\(a\)，使得\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{k}\)成等比数列？若存在，求出\(k\)的取值集合，若不存在，请说明理由；
\((3)\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)中的任意一项\(a_{n}\)总可以表示成数列\(\{a_{n}\}\)中的其它两项之和．

难度：较易

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9．

设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{2017} > 0\)，\(S_{2018} < 0\)，若对任意正整数\(n\)、\(k\)都有\(|a_{n}|\geqslant |a_{k}|\)，则\(k\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(1008\)

B．\(1009\)

C．\(1010\)

D．\(1011\)

难度：易

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10．
数列\(A_{n}\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 2)\)满足：\(a_{k} < 1(k=1,2,…,n).\)记\(A_{n}\)的前\(k\)项和为\(S_{k}\)，并规定\(S_{0}=0.\)定义集合\(E_{n}=\{k∈N^{*},k\leqslant n|S_{k} > S_{j},j=0,1,…,k-1\}\)．
\((\)Ⅰ\()\)对数列\(A_{5}\)：\(-0.3\)，\(0.7\)，\(-0.1\)，\(0.9\)，\(0.1\)，求集合\(E_{5}\)；
\((\)Ⅱ\()\)若集合\(E_{n}=\{k_{1},k_{2},…,k_{m}\}(m > 1\)，\(k_{1} < k_{2} < … < k_{m})\)，证明：\(S_{k_{i+1}}-S_{k_{i}} < 1(i=1,2,…,m-1)\)；
\((\)Ⅲ\()\)给定正整数\(C.\)对所有满足\(S_{n} > C\)的数列\(A_{n}\)，求集合\(E_{n}\)的元素个数的最小值．

难度：较易

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