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          共50条信息

            • 1． 设数列{an}的前项n和为Sn，点(n，
              Sn
              n
              )(n∈N+)              均在函数y=2x-1的图象上．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=2n-1•an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn．
              难度：中等
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            • 2． 设已知F为抛物线C：y2=4nx（n∈N+）的焦点，P为抛物线C上的一动点，定点A（1，1），动点P到点A，F的距离和的最小值记为an；b1=9，bn+1=
              b
              2
              n
              +2bn，cn=
              cos(πanan+1)
              cos
              πan
              3
              cos
              πan+1
              3

              （I）证明：{lg（bn+1）}是等比数列，并求bn．．
              （Ⅱ）求an，并求数列{an•lg（bn+1）}前n项的和Sn，
              （Ⅲ）求数列{cn}前n项的和Tn..
              难度：较难
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            • 3． 已知数列{an}的前n项和为Sn，点A（n，
              Sn
              n
              ）（n∈N）总在直线y=
              1
              2
              x+
              3
              2
              上．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）若数列{bn}满足bn=
              n+1an
              （n∈N），试问数列{bn}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{an}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
              （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；
              （Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
              难度：较难
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            • 5． 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 {Aj}，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线y2=
              3
              2
              x              上从左向右依次取点列{Bk}，k=1，2，…，使△Ak-1BkAk（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A0是坐标原点，则第2011个等边三角形的边长是    ．
              难度：中等
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            • 6． 已知在直角坐标系中，An(an，0)，Bn(0，bn)(n∈N*)，其中数列{an}，{bn}都是递增数列．
              （1）若an=2n+1，bn=3n+1，判断直线A1B1与A2B2是否平行；
              （2）若数列{an}，{bn}都是正项等差数列，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn（n∈N*），求证：{Sn}也是等差数列；
              （3）若an=2n，bn=an+b(a，b∈Z)，b1≥-12，记直线AnBn的斜率为kn，数列{kn}的前8项依次递减，求满足条件的数列{bn}的个数．
              难度：较难
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            • 7． 已知抛物线C：y2=4x，直线l：x+y+m=0与抛物线交于A、B两点．
              （1）若m=-1，求弦AB的长；
              （2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x2、x1、x3成等差数列；
              （3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=
              1
              4
              x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=
              1
              4
              x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
              （1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
              （2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
              （3）设数列{
              1
              an•(
              3
              2
              +cn)
              }的前n项和为Sn，求证：
              2
              3
              ≤Sn＜
              4
              3
              ．
              难度：较难
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            • 9． 已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
              1
              xn+2
              的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
              11
              7
              ．
              （I）求xn与xn+1的关系式；
              （II）令bn=
              1
              xn-2
              +
              1
              3
              ，求证：数列{bn}是等比数列；
              （III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．
              难度：较难
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            • 10． 设F是双曲线
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1              的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量
              BF
              与
              FA
              同向，则双曲线离心率e的大小为    ．
              难度：较难
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