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          共50条信息

            • 1． 在xOy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）对每个正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与H轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N+）．
              （1）求证：数列{
              1
              xn
              }是等差数列
              （2）设圆Pn的面积为Sn，Tn=
              		S1
              +
              		S2
              +…+
              		Sn
              ，求证：Tn＜
              3
              		π
              2
              ．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=lnx-
              2(x-1)
              x+1
              ．
              （1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
              （2）记Pn（n，lnn）（n∈N+），线段PnPn+1的斜率为kn，Sn=
              1
              k1
              +
              1
              k2
              +…+
              1
              kn
              ，求证：Sn＜
              n(n+2)
              2
              ．
              难度：较难
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            • 3． 已知数列，An：a1，a2，…，an（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|ak-ak-1|=2或3，则称An为H数列．
              （Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；
              （Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；
              （Ⅲ）在H数列A2015中，记bk=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{bk}是公差为d的等差数列，求证：d=5或-5．
              难度：较难
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            • 4． 在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，点Pn位于函数y=3x+
              13
              4
              的图象上，且Pn的横坐标构成以-
              5
              2
              为首项，-1为公差的等差数列{xn}．
              （1）求点Pn的坐标；
              （2）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn且过点Dn（0，n2+1），记过点Dn且与抛物线Cn相切的直线
              的斜率为kn，求证：
              1
              k 1k2 
              +
              1
              k2k3
              +…+
              1
              kn-1 kn
              ＜
              1
              10
              ．
              难度：较难
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            • 5． 已知点列Pn（an，bn）在直线l：y=2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，（n∈N+）
              （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
              （2）若数列{Cn}满足Cn=
              1
              n•|P1Pn|
              （n≥2），求
              lim
              n→∞
              （C2+C3+…+Cn）．
              （3）若dn=2dn-1+an+1（n≥2）且d1=1，求{dn}的通项公式．
              难度：中等
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            • 6． 如图，已知点F（0，p），直线l：y=-p（其中p为常数，且p＞0），M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为N，且
              NM
              •
              NF
              =
              FM
              •
              FN
              ．
              （1）求动点M的轨迹C的方程；
              （2）设Q是l上的任意一点，过Q作轨迹C的切线，切点为A、B．
              ①求证：A、Q、B三点的横坐标成等差数列；
              ②若Q（-4，-p），AB=20，求P的值．
              难度：中等
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            • 7． 设圆C的方程为x2+y2-2x（
              1-cosθ
              1+cosθ
              ）-2ytan
              θ
              2
              +（
              1-cosθ
              1+cosθ
              ）2=0，式中θ是实数，且0＜θ＜π．设θ1、θ2、θ3都是区间（0，π）内的实数，且θ1、θ2、θ3为公差不为0的等差数列，当θ依次取值θ1、θ2、θ3时，所对应的圆C的半径依次为r1、r2、r3，试问：r1、r2、r3能否成等比数列？为什么？
              难度：中等
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            • 8． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10：S5=1：2，又二次函数y=
              S15
              S10
              x2+
              13
              4
              x+5的导函数上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，n≥1，n∈N，且点Pn的横坐标构成等差数列{xn}，且x3=-
              9
              2
              ，x5=-
              13
              2
              ．
              （1）求二次函数解析式及点Pn的坐标；
              （2）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求证：
              1
              k1k2
              +
              1
              k2k3
              +…+
              1
              kn-1kn
              ＜
              1
              10
              ．
              （3）设S={x|x=2xn，n∈N*}，T={y|y=4yn，n∈N*}，等差数列{an}的任一项an，∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265＜a10＜-125，求数列{an}的通项公式．
              难度：中等
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            • 9． 在直角坐标系xOy内，过曲线C：xy=b（b，x＞0）与直线ln：y=anx（an≠0，n∈N*）的交点作C的切线mn，以O为圆心，以直线mn在坐标轴上的较长截距为半径作圆O交曲线C于An，Bn两点，若直线mn的斜率an构成数列{an}（n∈N*）且满足：①ban+1=a2n②a1=1．问：
              （Ⅰ）记使得∠AnOBn的大小不受到参数b的控制时的an=λ（非零常数），求an=λ时∠AnOBn的值；
              （Ⅱ）证明：∠AnOBn不一定随着n的增大而增大．
              难度：中等
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            • 10． 已知焦点为F1（0，-
              		5
              ），F2（0，
              		5
              ）的双曲线C在第一象限内部分记为T，点Pn（n，yn）（n=1、2、…）在T上，Pn到直线l：y=2x+k的距离为dn，且
              lim
              n→∞
              dn=
              		5
              ．
              （1）设双曲线半虚轴长为b，试用b表示dn；
              （2）求双曲线C的方程及k值；
              （3）线段PnPn+1的垂直平分线与x轴交于点（xn，0）（n=1、2、…），试证{xn}成等差数列并求通项公式．
              难度：中等
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