知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ =（2，﹣1，2）共线，且满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =18，（k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥（k $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ），求向量 $\text{[math]}$ 及k的值．

难度：中等

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2．设
a
=（1+cos x，1+sin x），
b
=（1，0），
c
=（1，2）．
（1）求证：（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）；
（2）求|
a
|的最大值，并求此时x的值．

难度：中等

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3．已知单位向量
m
和
n
的夹角为60°，
（1）试判断2
n
-
m
与
m
的关系并证明；
（2）求
n
在
n
+
m
方向上的投影．

难度：较易

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4．设
a
=（-1，1），
b
=（x，3），
c
=（5，y），
d
=（8，6），且
b
∥
d
，（4
a
+
d
）⊥
c
．
（1）求
b
和
c
；
（2）求
c
在
a
方向上的射影；
（3）求λ₁和λ₂，使
c
=λ₁
a
+λ₂
b
．

难度：中等

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5．已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
与k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．

难度：较难

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6．已知△ABC，A（0，3），B（2，2），C（-4，6）
（1）求向量
AB
在
AC
上投影．
（2）设CD为△ABC的AB边上的高，求D点坐标．

难度：中等

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7．已知向量
a
=(1，2)，
b
=(x，1)，
u
=
a
+2
b
，
v
=2
a
-
b

（1）当
u
∥
v
时，求x的值；
（2）当
u
⊥
v
时，求x的值．

难度：中等

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8．设两个非零向量
e1
，
e2
不共线．
（1）设
m
=k
e1
+
e2
，
n
=
e1
+k
e2
，且
m
∥
n
，求实数k的值；
（2）若丨
e1
丨=2，丨
e2
丨=3，
e1
与
e2
的夹角为60°，试确定k的值，使k
e1
+
e2
与
e1
+k
e2
垂直．

难度：较易

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9． P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量
a
=（x₁，y₁z₁），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定义一种运算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算（
AB
×
AD
）•
AP
的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（
AB
×
AD
）•
AP
的绝对值的几何意义．

难度：较难

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10．已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）设|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

难度：中等

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