知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，…，a_n，定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1．
对于每项均是非负整数的数列B：b₁，b₂，…，b_m，定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）．
又定义S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²．
设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A₀为2，6，4，8，写出数列A₁，A₂；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S（A_k+1）=S（A_k）．

难度：较难

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2．对于数对序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），记T₁（P）=a₁+b₁，T_k（P）=b_k+max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}（2≤k≤n），其中max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}表示T_k-1（P）和a₁+a₂+…+a_k两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T₁（P），T₂（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T₂（P）和T₂（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T₅（P）最小，并写出T₅（P）的值（只需写出结论）．

难度：较难

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3．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁＞c
1
p
，a_n+1=
p-1
p
a_n+
c
p
a_n^1-p．证明：a_n＞a_n+1＞c
1
p
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A=

cosα

sinα+sin3α

，B=

1+α2

4α

．则（　　）

A．A＞B

B．A＜B

C．A=B

D．A与B的大小不确定

难度：较难

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5．设函数f（x）=e^x-x-1，g（x）=e^2x-x-7．
（1）解不等式f（x）≤g（x）；
（2）事实上：对于∀x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号．由此结论证明：(1+
1
x
)x＜e，（x＞0）．

难度：较难

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6．证明：平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁，A₁C，BD₁，B₁D相交于一点，且互相平分．

难度：中等

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7．已知定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

难度：中等

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8．设a＞1，n∈N，若不等式
n a
-1＜
a-1
n
恒成立时，n的最小值为．

难度：较难

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9．若m、n∈{x|x=a₂×10²+a₁×10+a₀}，其中a_i∈{1，2，3，4，5，6，7}，i=0，1，2，并且m+n=636，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（　　）

A．60个

B．70个

C．90个

D．120个

难度：较难

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10．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．

难度：中等

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