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          共50条信息

            • 1． 如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=
              1
              3
              AC，AE=
              2
              3
              AB，BD，CE相交于点F．
              （Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
              （Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
              难度：较难
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            • 2． 已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有ki个（i=1，2，3…），设bj=k1+k2+…+kj（j=1，2，3…），g（m）=b1+b2+…+bm-100m（m=1，2，3…）．
              （Ⅰ）设数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，k5=…=k100=0，
              ①求g（1），g（2），g（3），g（4）；
              ②求a1+a2+a3+…+a100的值；
              （Ⅱ）若a1，a2，a3，…a100中最大的项为50，比较g（m），g（m+1）的大小．
              难度：较难
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            • 3． 若E，F，G，H分别为空间四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，证明：四边形EFGH是平行四边形．
              难度：中等
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            • 4． 下面对命题“函数f（x）=x+
              1
              x
              是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）
              A．∀x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+
              1
              -x
              =-（x+
              1
              x
              ）=-f（x），∴f（x）是奇函数
              B．∀x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+
              1
              x
              +（-x）+（-
              1
              x
              ）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函数
              C．∀x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴
              f(-x)
              f(x)
              =
              -x-
              1
              x
              x+
              1
              x
              =-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数
              D．取x=-1，f（-1）=-1+
              1
              -1
              =-2，又f（1）=1+
              1
              1
              =2
              难度：较易
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            • 5． 设a1，a2，…，an为正数，求证：
              a
              2
              1
              a2
              +
              a
              2
              2
              a3
              +…+
              a
              2
              n-1
              an
              +
              a
              2
              n
              a1
              ≥a1+a2+…+an．
              难度：中等
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            • 6． 设xi，yi （i=1，2，…，n）是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：
              n
              i-1
              （xi-yi）2≥
              n
              i-1
              （xi-zi）2．
              难度：较难
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            • 7． 设a1，a2，…，an为正数，证明
              a1+a2+…+an
              n
              ≥
              n
              1
              a1
              +
              1
              a2
              +…+
              1
              an
              ．
              难度：较难
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            • 8． 求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．
              难度：较难
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            • 9． 求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
              难度：中等
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            • 10． 求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．
              难度：中等
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