知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，∠ABC=
2π
3
，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，则AD= ．

难度：中等

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2．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）．
（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；
（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin²
x
3
．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

难度：中等

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4．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面积为
3
3
2
，3ac=25-b²，求a，c的值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=
3
2
sin2x-cos²x-
1
2
，（x∈R）
（1）当x∈[-
π
12
，
5π
12
]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=（1，sinA）与向量
n
=（2，sinB）共线，求a，b的值．

难度：中等

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6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若
AB
•
AD
=m
AB
•
AC

（1）当m=2时，求cosA的值；
（2）当
a
b
∈(1，
2
3
3
)时，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．已知a，b，c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量
m
=（2sinB，2-cos2B），
n
=（2sin²（
π
4
+
B
2
），-1），
m
⊥
n
，a=
3
，b=1．
（1）求角B的大小；
（2）求c的值．

难度：中等

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8．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．
（1）求∠B的大小；
（2）若a+c=
10
，b=2，求△ABC的面积．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=2cos²x+2
3
sinxcosx（x∈R）．
（1）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
m
=（1，sinA），
n
=（2，sinB），若
m
∥
n
，求a，b的值．

难度：中等

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10．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知
m
=（a，b），
n
=（cosA，cosB），
p
=（2
2
sin
B+C
2
，2sinA），若
m
∥
n
，
p
²=9，求证：△ABC为等边三角形．

难度：较易

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