已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的一个焦点在直线\(l\)：\(x-1=0\)上，且离心率\(e=\dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)求该椭圆的方程．

\((2)\)若\(P\)与\(Q\)是该椭圆上不同的两点，且线段\(PQ\)的中点\(T\)直线\(l\)上，试证：\(x\)轴上存在定点\(R\)，对于所有满足条件的\(P\)与\(Q\)，恒有\(|RP|=|RQ|\)；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，\(\triangle PQR\)能否为等腰直角三角形？并证明你的结论．

在圆\(x^{2}+y^{2}=4\)上任取一点\(M\)，过点\(M\)作\(x\)轴的垂线段\(MD\)，\(D\)为垂足．\(\overrightarrow{DN}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{DM}\)，当点\(M\)在圆上运动时

\((1)\)求\(N\)点的轨迹\(T\)的方程；

\((2)\)若\(A(2,0)\)，直线\(l\)交曲线\(T\)于\(E\)、\(F\)两点\((\)点\(E\)、\(F\)与点\(A\)不重合\()\)，且满足\(AE⊥AF.O\)为坐标原点，点\(P\)满足\(2\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\)，证明直线\(l\)过定点，并求直线\(AP\)的斜率的取值范围．

已知抛物线\(C:{y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)过点\(M(1,-2)\)，且焦点为\(F\)，直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\)求抛物线\(C\)的方程，并求其准线方程；

\((2)\)若\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4\)，证明直线\(l\)必过一定点，并求出该定点．

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)过\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；

\((2)\)设\(P\)为第三象限内一点且在椭圆\(C\)上，直线\(PA\)与\(y\)轴交于点\(M\)，直线\(PB\)与\(x\)轴交于点\(N\)，求证：四边形\(ABNM\)的面积为定值．

已知点\(P\)\(\left(\begin{matrix}1,- \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right)\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)上，过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)\({\,\!}_{2}(1,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)若\(AB\)是椭圆\(C\)经过原点\(O\)的弦，且\(MN\)\(/\!/\)\(AB\)，\(W\)\(= \dfrac{|AB|^{2}}{|MN|}.\)试判断\(W\)是否为定值？若\(W\)为定值，请求出这个定值；若\(W\)不是定值，请说明理由．

已知动直线\(l\)过点\(P(0,\dfrac{1}{2})\)，且与圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点．

\((1)\)若直线\(l\)的斜率为\(\sqrt{3}\)，求\(\triangle OAB\)的面积；

\((2)\)若直线\(l\)的斜率为\(0\)，点\(C\)是圆\(O\)上任意一点，求\(CA^{2}+CB^{2}\)的取值范围；

\((3)\)是否存在一个定点\(Q(\)不同于点\(P)\)，对于任意不与\(y\)轴重合的直线\(l\)，都有\(PQ\)平分\(∠AQB\)，若存在，求出定点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．