知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．

难度：较易

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2．已知点N（-1，0），F（1，0）为平面直角坐标系内两定点，点M是以N为圆心，4为半径的圆上任意一点，线段MF的垂直平分线交于MN于点R．
（1）点R的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；
（2）抛物线C的顶点在坐标原点，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，与曲线E交于P、Q两点，请问：是否存在直线l使A，F，Q是线段PB的四等分点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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3．已知点P是⊙M：（x+1）²+y²=16上的任意一点，点N（1，0），线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）已知直线l′与点Q的轨迹交于点A，B，且直线l′的方程为y=kx+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ （k＞0），若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．

难度：较易

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4．已知两点F₁（- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），F₂（ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），满足条件|PF₁|-|PF₂|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于不同两点A、B：
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若|AB|=2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系中，已知点A（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，0），点B为直线x=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BBM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =0， $%20%5Coverrightarrow%20%7BCM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ =0．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

难度：中等

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6．如图，已知P是以F₁（-1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F₂（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF₁交于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）已知点E坐标为（4，0），直线l经过点F₂（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，求△ABE面积的最大值．

难度：较易

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7．已知动圆C与圆 $C_%7B1%7D%EF%BC%9A%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 相外切，与圆 $C_%7B2%7D%EF%BC%9A%28x-1%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D9$ 相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（Ⅰ）求轨迹T的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

难度：较易

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8．

难度：易

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9．已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+ $%20%5Cfrac%20%7B51%7D%7B25%7D$ =0与D有公共点，试求a的最小值．

难度：较易

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10．（I）已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（-4，2），（3，1），求点C的坐标．
（II）已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线y= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标．

难度：较易

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