知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²=4．（Ⅰ）若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

难度：中等

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2．已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；
（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD=
2
时，求直线CD的方程；
（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．

难度：中等

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3．已知两点A（0，﹣3），B（4，0），若点P是圆x²+y²﹣2y=0上的动点，则△ABP面积的最小值为（）

A．6

B． $\text{[math]}$

C．8

D． $\text{[math]}$

难度：中等

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4．若动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，设线段PQ的中点M（a，b），满足a²+b²-4a+4b≤0，则a²+b²的取值范围是（　　）

A．[2

，4]

B．[2

，2

]

C．[8，12]

D．[8，16]

难度：较难

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5．若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x-m）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：中等

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6．某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．
（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；
（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）

难度：中等

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7．如图所示，已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，M是圆O上任意点（除去圆O与两坐标轴的交点）．直线AM与直线BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM、PN的斜率分别为m、n．
（Ⅰ）求直线BC的方程；
（Ⅱ）求点P、M的坐标（用m表示）；
（Ⅲ）是否存在一个实数λ，使得m+λn为定值，若存在求出λ，并求出这个定值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知圆C₁：x²+y²+D₁x+8y-8=0，圆C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0．
（1）若D₁=2，D₂=-4，求圆C₁与圆C₂的公共弦所在的直线l₁的方程；
（2）在（1）的条件下，已知P（-3，m）是直线l₁上一点，过点P分别作直线与圆C₁、圆C₂相切，切点为A、B，求证：|PA|=|PB|；
（3）将圆C₁、圆C₂的方程相减得一直线l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直线l₂上，且在圆C₁、圆C₂外部的任意一点．过点Q分别作直线QM、QN与圆C₁、圆C₂相切，切点为M、N，试探究|QM|与|QN|的关系，并说明理由．

难度：较难

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9．如图，A，B两地相距10km，A（-5，0），B（5，0）．有一种商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的3倍．问该地居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？（仅从运费的多少来考虑）

难度：中等

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