知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如左图，四边形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AD⊥AB\)，\(AB=2CD=4\)，\(AD=2\)，过点\(C\)作\(CO⊥AB\)，垂足为\(O\)，将\(\triangle OBC\)沿\(CO\)折起。如右图，使得平面\(CBO\)与平面\(AOCD\)所成的二面角的大小为\((θ < θ < π)\)，\(E\)、\(F\)分别为\(BC\)、\(AO\)的中点．

\((1)\)求证：\(EF/\!/\)平面\(ABD\)；

\((2)\)若\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)，求二面角\(F—BD—O\)的余弦值．

难度：中等

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2．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A₁C的长度．

难度：易

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3．

如图，在直四棱柱\(ABCD\)\(-\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)\({\,\!}_{1}\)中，底面四边形\(ABCD\)为菱形，\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(A\)\(=\)\(AB\)\(=2\)，\(∠ABC=\dfrac{\pi }{3}\)，\(E\)，\(F\)分别是\(BC\)，\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)的中点．

\((1)\)求异面直线\(EF\)，\(AD\)所成角的余弦值；

\((2)\)点\(M\)在线段\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)上，\(\dfrac{{{A}_{1}}M}{{{A}_{1}}D}=\lambda .\)若\(CM\)\(/\!/\)平面\(AEF\)，求实数\(λ\)的值．

难度：难

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4．
如图，在四棱锥\(P\)\(\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．

\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；

\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；

\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．

难度：较易

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5．如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，点\(E\)是\(PD\)的中点，\(AB=2\)，\(PA=3\)．

\((1)\)求证：\(PB/\!/\)平面\(EAC\)；
\((2)\)求证：\(CD⊥AE\)；

难度：易

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6．
（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．

难度：中等

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7．
（12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．

难度：中等

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8．
（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问

（1）在y轴上是否存在点M，满足？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．

难度：中等

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9．
（14分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长．

难度：中等

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10．
（12分）已知，，，求证其为直角三角形．

难度：中等

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