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          共50条信息

            • 1．

              已知双曲线的渐近线方程为\(y=\pm \sqrt{3}x\)，右顶点为\(D(1,0)\)，\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别为双曲线的左、右焦点．

              \((1)\)求该双曲线的标准方程；

              \((2)\)若经过\(F_{1}\)且斜率为\(1\)的直线与双曲线相交于点\(A\)、\(B\)，求\(\triangle F_{2}AB\)的面积．

              难度：较易
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            • 2．

              若直线\(y=kx+1\)与双曲线\(x^{2}-y^{2}=1\)的左支交于不同的两点，则\(k\)的取值范围是\((\)    \()\)

              A．\((-\sqrt{2},\sqrt{2})\)
              B．\((1,\sqrt{2})\)
              C．\((-\sqrt{2},-1)\bigcup (-1,1)\bigcup (1,\sqrt{2})\)
              D．\((-\sqrt{2},-1)\)
              难度：难
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            • 3．

              已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) \((a > 0\) ，\(b > 0\) \()\)与抛物线\({{y}^{2}}=8x\) 有相同的焦点\(F\) ，过点\(F\) 且垂直于\(x\) 轴的直线\(l\) 与抛物线交于\(A\)、\(B\) 两点，与双曲线交于\(C\) 、\(D\) 两点，当\(|AB|=2|CD|\) 时，双曲线的离心率为\((\)    \()\)

              A．\(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)
              B．\(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
              C．\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
              D．\(2\) 
              难度：难
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            • 4．

              己知斜率为\(1\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)：\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)相交于\(B\)、\(D\)两点，且\(BD\)的中点为\(M(1,3)\)，则双曲线\(C\)的离心率为

              A．\(\sqrt{2}\)
              B．\(\sqrt{3}\)
              C．\(2\)
              D．\(\sqrt{5}\)
              难度：易
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            • 5．

              已知\(A\)，\(F\)分别为双曲线\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0,b > 0\right) \)的右顶点和右焦点，线段\(OF\)的垂直平分线与双曲线在第一象限的交点为\(P\)，过\(F\)作与\(x\)轴垂直的直线与双曲线在第一象限交于\(Q\)，若\(∆PAF \)的面积与\(∆QOA \)的面积相等，则双曲线的离心率为\((\)　　　\()\)

              A．\(\dfrac{ \sqrt{33}-4}{3} \)　　　　
              B．\(\dfrac{ \sqrt{33}+4}{3} \)　　　　
              C．\(\dfrac{ \sqrt{33}-1}{3} \)　　　　
              D．\(\dfrac{ \sqrt{33}+1}{3} \)
              难度：难
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            • 6．

              若直线\(y=\sqrt{3}x\)与双曲线\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)有两个不同的交点，则\({C}\)的离心率的取值范围是\((\)    \()\)

              A．\((2,+\infty )\)
              B．\((1,2)\)
              C．\((\sqrt{2},+\infty )\)
              D．\((1,\sqrt{2})\)
              难度：难
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            • 7．

              \((1)\)已知\(a\in R\)，\(i\)为虚数单位，若\(\dfrac{a-i}{2+i}\)为实数，则\(a\)的值为             __．

              \((2)\)若直线\(l\)过点\((3,0)\)与双曲线\(4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}=36\)只有一个公共点，则这样的直线有             条

              \((3)\)函数\(f(x)=\ln (4+3x-x^{2})\)的单调递减区间是____________

              \((4)\)抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的焦点为\(F\)，\(A\)，\(B\)为抛物线上的两点，以\(AB\)为直径的圆过点\(F\)，过\(AB\)的中点\(M\)作抛物线的准线的垂线\(MN\)，垂足为\(N\)，则\(\dfrac{\left| MN \right|}{\left| AB \right|}\)的最大值为_____．

              难度：难
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            • 8．

              已知双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的渐近线方程为：\(y=\pm \sqrt{3}x\)，右顶点为\(\left( 1,0 \right)\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求双曲线\(C\)的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)已知直线\(y=x+m\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A,B\)，且线段\(AB\)的中点为\(M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)，当\({{x}_{0}}\ne 0\)时，求\(\dfrac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}\)的值。

              难度：中等
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            • 9． 在平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(E\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-{y}^{2}=1\left(a > 0\right) \)的左右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \)，直线\(l\)：\(y=x-2\)与双曲线的右支交于\(A\)、\(B\)两点．
              \((1)\)求双曲线\(E\)的方程；
              \((2)\)求\(\triangle ABF_{1}\)的面积．
              难度：较易
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            • 10． 已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}-1(a > 0,b > 0)\)的两个焦点为\(F：(-2,0),F：(2,0),{点}P(3, \sqrt {7})\)
              的曲线\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求双曲线\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(O\)为坐标原点，过点\(Q(0,2)\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于不同的两点\(E\)、\(F\)，若\(\triangle OEF\)的面积为\(2 \sqrt {2}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：较难
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