知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1.5m，水面宽4m．水下降0.5m后，水面宽多少？

难度：中等

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4．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：中等

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5．过抛物线y²=8x的焦点作直线交抛物线于A（x₁ ， x₂）、B（x₂ ， y₂）两点，若|AB|=16，则x₁+x₂=

难度：中等

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6．设过定点F（0，1）与直线l₁：y=-1相切的动圆圆心M的轨迹为G．
（1）求轨迹G的方程；
（2）过点F的直线l₂交轨迹G于不同的两点P、Q，交直线l₁于点R，求
RP
•
RQ
的最小值．

难度：较难

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7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-
1
2
，求证：直线AB过x轴上一定点．

难度：较难

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8．如图，设抛物线x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．

难度：较难

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9．已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2
2
的直线交抛物线于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=
9
2

（1）求该抛物线的方程；
（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y=x+3的距离最短．

难度：中等

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10．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的值为（　　）

A．

B．p

C．

D．2p

难度：较难

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