知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知点\(M(-1,1)\)和抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)，过\(C\)的焦点且斜率为\(k\)的直线与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若\(∠AMB=90^{\circ}\)，则\(k=\)
______ ．

难度：较易

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2．
如图，已知点\(P\)是\(y\)轴左侧\((\)不含\(y\)轴\()\)一点，抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)上存在不同的两点\(A\)，\(B\)满足\(PA\)，\(PB\)的中点均在\(C\)上．
\((\)Ⅰ\()\)设\(AB\)中点为\(M\)，证明：\(PM\)垂直于\(y\)轴；
\((\)Ⅱ\()\)若\(P\)是半椭圆\(x^{2}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1(x < 0)\)上的动点，求\(\triangle PAB\)面积的取值范围．

难度：中等

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3．
设抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)且斜率为\(k(k > 0)\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(|AB|=8\)．
\((1)\)求\(l\)的方程；
\((2)\)求过点\(A\)，\(B\)且与\(C\)的准线相切的圆的方程．

难度：较易

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4．
设抛物线\(C\)：\(y^{2}=2x\)，点\(A(2,0)\)，\(B(-2,0)\)，过点\(A\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点．
\((1)\)当\(l\)与\(x\)轴垂直时，求直线\(BM\)的方程；
\((2)\)证明：\(∠ABM=∠ABN\)．

难度：难

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5．
设常数\(t > 2.\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(F(2,0)\)，直线\(l\)：\(x=t\)，曲线\(Γ\)：\(y^{2}=8x(0\leqslant x\leqslant t,y\geqslant 0).l\)与\(x\)轴交于点\(A\)、与\(Γ\)交于点\(B.P\)、\(Q\)分别是曲线\(Γ\)与线段\(AB\)上的动点．
\((1)\)用\(t\)表示点\(B\)到点\(F\)的距离；
\((2)\)设\(t=3\)，\(|FQ|=2\)，线段\(OQ\)的中点在直线\(FP\)上，求\(\triangle AQP\)的面积；
\((3)\)设\(t=8\)，是否存在以\(FP\)、\(FQ\)为邻边的矩形\(FPEQ\)，使得点\(E\)在\(Γ\)上？若存在，求点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．

难度：较易

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6．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px\)经过点\(P(1,2)\)，过点\(Q(0,1)\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)有两个不同的交点\(A\)，\(B\)，且直线\(PA\)交\(y\)轴于\(M\)，直线\(PB\)交\(y\)轴于\(N\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)的斜率的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)设\(O\)为原点，\( \overrightarrow{QM}=λ \overrightarrow{QO}\)，\( \overrightarrow{QN}=μ \overrightarrow{QO}\)，求证：\( \dfrac {1}{\lambda }+ \dfrac {1}{\mu }\)为定值．

难度：较易

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7．抛物线y²=-8x中，以（-1，1）为中点的弦所在的直线方程为 ______ ．

难度：较易

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8．
如图，已知抛物线\(x^{2}=y\)，点\(A(- \dfrac {1}{2}, \dfrac {1}{4})\)，\(B( \dfrac {3}{2}, \dfrac {9}{4})\)，抛物线上的点\(P(x,y)(- \dfrac {1}{2} < x < \dfrac {3}{2})\)，过点\(B\)作直线\(AP\)的垂线，垂足为\(Q\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(AP\)斜率的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)求\(|PA|⋅|PQ|\)的最大值．

难度：难

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9．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2x\)，过点\((2,0)\)的直线\(l\)交\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，圆\(M\)是以线段\(AB\)为直径的圆．
\((1)\)证明：坐标原点\(O\)在圆\(M\)上；
\((2)\)设圆\(M\)过点\(P(4,-2)\)，求直线\(l\)与圆\(M\)的方程．

难度：难

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10．
设\(A\)，\(B\)为曲线\(C\)：\(y= \dfrac {x^{2}}{4}\)上两点，\(A\)与\(B\)的横坐标之和为\(4\)．
\((1)\)求直线\(AB\)的斜率；
\((2)\)设\(M\)为曲线\(C\)上一点，\(C\)在\(M\)处的切线与直线\(AB\)平行，且\(AM⊥BM\)，求直线\(AB\)的方程．

难度：难

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