知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线x²-
y2
2
=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦．

难度：中等

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2．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
3
x，两条准线间的距离为1，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

难度：较难

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3．设双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．

难度：中等

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4．双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为．

难度：中等

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5．如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段
.
AC
所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
2
3
≤λ≤
3
4
时，求双曲线离心率c的取值范围．

难度：较难

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6．椭圆焦点在x轴，离心率为
3
2
，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

难度：中等

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7．设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1两焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求证：tan
α
2
•cot
β
2
=
c-a
c+a
．

难度：较难

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8．双曲线x²-y²=1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（　　）

A．k≤0或k＞1

B．k＜0或k＞1

C．k≤-1或k≥1

D．k＜-1或k＞1

难度：较易

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9．若一动点M与定直线l：x=
16
5
及定点A（5，0）的距离比是4：5．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设所求轨迹C上有点P与两定点A和B（-5，0）的连线互相垂直，求|PA|•|PB|的值．

难度：中等

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10．设P是双曲线
x2
4
-
y2
12
=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证3tan
α
2
=tan
β
2
．

难度：较难

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