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          共50条信息

            • 1． 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB⊥AD\)，\(AC⊥CD\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(PA=AB=BC\)，\(E\)是\(PC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(CD⊥AE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)证明：\(PD⊥\)平面\(ABE\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求二面角\(A-PD-C\)的正切值．
              难度：中等
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            • 2． 在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)、\(F\)分别是棱\(AB\)、\(CD\)的中点．
              \((1)\)求证：\(AB_{1}⊥ \)面\(A_{1}BC\)；
              \((2)\)求二面角\(A_{1}-BC-A\)的大小．
              难度：较难
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            • 3． 如图，在以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)为顶点的五面体中，面\(ABEF\)为正方形，\(AF=2FD\)，\(∠AFD=90^{\circ}\)，且二面角\(D-AF-E\)与二面角\(C-BE-F\)都是\(60^{\circ}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明平面\(ABEF⊥\)平面\(EFDC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(E-BC-A\)的余弦值．

              难度：较难
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            • 4．

              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

              \((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

              \((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

              难度：较易
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            • 5．
              如图正方体\(ABCD-A′B′C′D′\)中，二面角\(D′-AB-D\)的大小是\((\)　　\()\)
              A．\(30^{\circ}\)
              B．\(45^{\circ}\)
              C．\(60^{\circ}\)
              D．\(90^{\circ}\)
              难度：较易
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            • 6． \(18.\)如图，三棱柱 \(ABC\)\(­\) \(A\)\({\,\!}_{1}\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\)中，侧面 \(BB\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)为菱形， \(AB\)\(⊥\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)．

              \((1)\)证明：\(AC\)\(=\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)；

              \((2)\)若\(AC\)\(⊥\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)，\(∠\)\(CBB\)\({\,\!}_{1}=60^{\circ}\)，\(AB\)\(=\)\(BC\)，求二面角\(A\)\(­\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}­\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)的余弦值．


              难度：难
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            • 7． 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为直角梯形，\(∠ADC=∠BCD=90^{\circ}\)，\(BC=2\)，\(CD= \sqrt {3}\)，\(PD=4\)，\(∠PDA=60^{\circ}\)，且平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AD⊥PB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)在线段\(PA\)上是否存在一点\(M\)，使二面角\(M-BC-D\)的大小为\( \dfrac {π}{6}\)，若存在，求\( \dfrac {PM}{PA}\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8． 已知一个\(60^{\circ}\)的二面角的棱上有两点\(A\)，\(B\)，\(AC\)，\(BD\)分别是在这个二面角的两个面内垂直于\(AB\)的线段，若\(AB=4\)，\(AC=6\)，\(BD=8\)，则\(CD=(\)　　\()\)
              A．\(2 \sqrt {41}\)
              B．\(2 \sqrt {3}\)
              C．\(2 \sqrt {17}\)
              D．\(10\)
              难度：中等
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            • 9．
              如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AD=AA_{1}=1\)，\(AB > 1\)，点\(E\)在棱\(AB\)上移动，小蚂蚁从点\(A\)沿长方体的表面爬到点\(C_{1}\)，所爬的最短路程为\(2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求证：\(D_{1}E⊥A_{1}D\)；
              \((2)\)求\(AB\)的长度；
              \((3)\)在线段\(AB\)上是否存在点\(E\)，使得二面角\(D_{1}-EC-D\)的大小为\( \dfrac {\pi }{4}.\)若存在，确定点\(E\)的位置；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，斜三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面是直角三角形，\(∠ACB=90^{\circ}\)，点\(B_{1}\)在底面\(ABC\)上的射影恰好是\(BC\)的中点，且\(BC=CA=AA_{1}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(ACC_{1}A_{1}⊥\)平面\(B_{1}C_{1}CB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(BC_{1}⊥AB_{1}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求二面角\(B-AB_{1}-C_{1}\)的大小．
              难度：难
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