知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•武汉校级月考）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）求三棱锥S-FAC的体积；
（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA₁=2，点P是棱BB₁上一点，满足
BP
=λ
BB1
（0≤λ≤1）．
（1）若λ=
1
3
，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P-A₁C-B的正弦值为
2
3
，求λ的值．

难度：中等

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3．（2016春•淮安校级月考）如图，在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=
3
2
AP=3．
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值．

难度：中等

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4．已知线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D为垂足，|PD|=5cm，|AB|=8cm，连接PA、PB、PC．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正切值．

难度：较难

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5．（2015秋•洛阳期末）如图，ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．
（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；
（2）若BE⊥PC且交点为E，BE=
6
3
a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=
2
，M是AD的中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：NA₁∥CM；
（2）求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；
（3）求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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8．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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10．设ABCDEF是边长为1的正六边形，PA垂直于正六边形所在的平面，且PA=2．求
（1）点P到直线CD的距离，
（2）直线BC与平面PAD的距离，
（3）点A到平面PBD的距离，
（4）异面直线CD与PE所成的角，
（5）直线PD与平面PAB所成的角，
（6）二面角C-PD-E的大小．

难度：较难

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