知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=
1
2
AB，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且AN=CS=
1
4
AB．
（1）证明：DM⊥SN；
（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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3．（2015秋•常州期末）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=A₁C，D，E，F分别为AB，A₁C₁，AA₁的中点，平面AA₁C₁C⊥平面ABC．G，H分别在AD，AC上，且AD=4AG，GH∥CD．求证：
（1）AB⊥CE；
（2）平面FGH∥平面CDE．

难度：中等

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4．（2015秋•滨州期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=
1
3
AD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（N与A不重合）．
（1）求证：MN∥BC；
（2）若PM=
1
3
PD，求证：AC⊥BM．

难度：中等

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5．（2015秋•福州校级期末）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①B，E，F，C四点共面；
②直线BF与AE异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．
其中正确的有．（请写出所有符合条件的序号）

难度：较难

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6．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P-AD-B的值为θ．
（Ⅰ）当θ=
π
2
时，求证：AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=
π
6
时，求二面角P-AB-D的余弦值．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．
（I）求证：AC⊥CD；
（Ⅱ）点E在棱PC上，满足∠DAE=60°，求二面角B-AE-D的余弦值．

难度：中等

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8．正方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直线中，和AB异面的直线条数是（　　）

A．4

B．6

C．8

D．2

难度：较易

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9．（2011秋•洛阳期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①BM∥ED；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM所成的角为60°；
④DM⊥BN．
其中正确命题的序号是．

难度：中等

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10．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

难度：中等

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