知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG
（2）在线段AC上是否存在一点G使FG∥平面PBD，并说明理由．

难度：较易

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2．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，
EM
=λ
EC
(0＜λ＜1)．
（1）当λ=
1
2
时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为
1
38
时，求λ的值．

难度：中等

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3．（2015秋•承德期末）如图，已知侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

难度：中等

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4．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，D，E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求证：C₁E∥面A₁BD；
（2）求点C₁到平面A₁BD的距离．

难度：中等

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5．（2015春•广州校级期末）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AA₁=AC=2，AB=
2
，O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点．
（1）求证：C₁E∥平面ABO₁；
（2）求证：BD⊥平面ACO₁；
（3）求点A到平面BCO₁的距离．

难度：中等

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6．（2015秋•莱芜期末）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是矩形，侧面AA₁C₁C⊥侧面AA₁B₁B，且AB=4AA₁=4，∠BAA₁=60°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求证：DA₁⊥平面AA₁C₁C．

难度：中等

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7．已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面PAF；
（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C-PFD的体积；
（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出
AG
AP
的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB₁的体积．

难度：较难

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9．已知正方体AC₁的棱长为a，过B₁作B₁E⊥BD₁于点E，过点E作EF⊥BD于F．
（1）证明EF∥平面ABB₁A₁；
（2）求A，E两点之间的距离．

难度：中等

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10．（2015秋•余姚市期末）如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）若AD=CD，AB=CB，求证：AC⊥BD．

难度：中等

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