知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求△ACE的面积．

难度：中等

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2．空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形PQRH是平行四边形；
（2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？

难度：中等

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3．如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH=
1
3
AD，DG=
1
3
CD．
求：（1）判断EFGH的形状；
（2）证明直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．

难度：较难

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4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，PA=BC=AC=4，D为PC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

难度：中等

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，D，E分别是棱BC，CC₁上的点，且AD⊥BC．
（1）求证；直线A₁F∥平面ADE；
（2）E为C₁C中点，能否在直线B₁B上找一点N，使得A₁N∥平面ADE？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．在空间四边形ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

难度：中等

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7．正方体中，E，F，G分别是A′D′、B′C′、D′C′的中点．
（1）求直线BA′和CC′所成的角的大小；
（2）求直线EG和BD′所成的角的大小；
（3）证明：四边形ABFE为平行四边形．

难度：较易

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8．如图，在三棱锥ABCD中，点M，N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN∥BD．

难度：中等

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9．如图，过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁的平面交DD₁C₁C于EE₁．求证：BB₁∥EE₁．

难度：中等

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10．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AD的中点，N是B₁C₁ 的中点，求证：CM∥A₁ N．

难度：较易

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