知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•潍坊校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=
6
2
a，求三棱锥C-ABB₁的体积．

难度：中等

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3．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=
1
2
CD，AB⊥AD，AB∥CD，点g（x）=f（x）-x²+2x是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出
PN
PB
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．（2015秋•松原校级期末）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

难度：较难

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5．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2
2
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

难度：中等

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6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点．证明：（1）BD₁⊥AC；（2）BD₁⊥EB₁．

难度：中等

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7．如图，在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），且AC=2BD，连接CD，过B作AB的垂线BE．
（Ⅰ）求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠ABC=
π
2
，AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C；
（2）若E为棱CC₁上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=
4
61
61
时CE的长．

难度：中等

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9．如图，四棱锥S-ABCD中，BC∥AD，BC=2AB=2AD=2，SD=
1
2
，BD⊥SD，∠ABC=60°，E为BC的中点．
（1）求证：AD∥平面SBC；
（2）求证：BD⊥SC；
（3）若二面角S-BD-C为60°，求直线SE与平面SDC所成的角．

难度：中等

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10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若PA=AD，求证：MN⊥平面PCD．

难度：中等

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