知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，
∠CAD=90°，EF∥BC，EF=
1
2
BC，AC=
2
，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若三棱锥F-ACD 的体积为
1
3
，求点D 到平面ACF 的距离．

难度：中等

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2．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA=AB．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若F为PD上的点，EF⊥PD，求EF与平面PAD所成角的正切值．

难度：中等

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3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G 分别为 AB、BB₁、B₁C₁ 的中点．
（1）求证：A₁D⊥FG；
（2）求二面角 A₁-DE-A 的正切值．

难度：中等

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4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）在线段BC₁上是否存在点D，使得AD⊥A₁B？若存在，求出
BD
BC1
的值，若不存在，说明理由．

难度：中等

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5．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

难度：较难

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6．（2013春•九原区校级期末）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是．

难度：中等

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7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为CD的中点．
（Ⅰ）请确定面A₁D₁F与面ABCD的交线的位置，并说明理由；
（Ⅱ）请在BB₁上确定一点E，使得面ADE⊥面A₁D₁F，并说明理由．

难度：中等

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8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积VF-A1ED1．

难度：较难

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9．如图，正方形ABCD所在平面与△ABE所在平面垂直，AB=AE=2，∠EAB=90°，EC中点为F．
（1）求证：BF⊥DE
（2）求直线ED与平面EBC所成角．

难度：中等

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10．如图，在矩形ABCD中，AB=
3
，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）若在边BC上存在点Q，且使得PQ⊥QD，求a的取值范围；
（2）当BC边上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成角的大小．

难度：较难

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